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欧姆定律,本构关系,宏观定律,理论以及创新

已有 5483 次阅读 2016-1-21 13:03 |系统分类:教学心得

张操老师新文章里面提到了欧姆定律为什么不是相对论协变的。关于张老师奋力打倒相对论的努力,我这里不做更多评论,这里只闲谈几句欧姆定律,或者更一般的宏观规律的问题,或者说,“理论”和“创新”的一些问题。

 

欧姆定律这个事情,以前我教电动力学的时候偶尔会单独用半节课的时间讨论一下,偶尔则是合并到更一般的极化效应和电场强度之间的关系上讨论。后者还可以更进一步推广为力学里面作用力和应变之间的关系,也就是一般意义上说的本构关系。不过这些不是重点,重点是什么是“理论”,什么是“说法”。

啥叫欧姆定律?某人做了一段实验,认为电阻上通过的电流和两端电压成正比,比例系数叫电导;然后把电阻进一步做微元化,于是电压变成了电场,电流变成了电流密度,比例系数叫做电导率。接着这人进一步地假设(!)电导率是物质的特性(!),不受外界条件影响,于是产生一个定律:j=sigma E

不管画图的(你知道我说的是什么)怎么看待这个东西,你要明白的是,在物理上看来,这个公式是个经验公式,而且是“猜测的和唯像的”,前者是说,如果你发现什么情况下这个公式不对,那么你不用太在意,因为本来就没有人说这个公式一定是对的,这个公式错了不会影响真正的物理定律(这里说的物理定律,是指那些我们觉得和整个世界的基本构造规则有关的那些,比如万有引力的存在,正负电荷互相吸引,光速不变,量子化之类),你发现某个条件下这个公式不对,那也就是提供一种新的电气材料,并要以为这是什么物理上的重要创新;后者是说,就算这个公式是对的,你也不知道这个公式是怎么来的,因为它没有任何地方涉及电流产生的机制以及电场如何操作这个机制。

关于第二点展开几句。牛顿和库仑做了一些有趣的事情,比如说牛顿顺手写了个冷却定律:冷却速度和温差成正比。这玩意其实没什么逻辑可言,他就是觉得这种线性正比关系和他的F=ma很像,“所以写出来大概不会错”。库仑也是,他直接把引力定律照抄成了库仑电力定律。这种办法好不好?没人知道,我们只知道,这么干完,对了就算你捞到了,错了也就是说明你这个想法有错误,就像后来大家发现引力只有一种而电力分电力和磁力两种,你也不能因为这个就说上帝把电力设计错了,我们根本没有理由说引力和电磁力是同一种东西是不是。(然而实际上使用这种奇怪思路的人很多,比如有人就说湍流的大涡到小涡耗散和热力学的高温向低温传热类似,所以耗散机制找到了,问题是他怎么理解有时候小的扰动可以合并成大的?)

那么现在我们来看看欧姆定律究竟在物理理论上是个什么?实际上这里有两种理论,我们先说最容易理解的一种:你考虑一堆电子和离子放在一起,然后它们可以互相碰撞。你加个电场上去,电子就会加速,但是加速的同时,它还会不断和离子碰撞减速,假设由于某种原因(随机化假设),电子碰撞之后,能量动量的一部分转交给离子热运动,那么结果就是电子一开始加速,加速到一定程度后,速度越来越快,单位时间(距离)上的能损也就越来越严重,最后达到平衡,平衡结果一定是电子速度正比于加速电场大小,然后你容易看到电子迁移速度乘以密度就是电流密度,于是这就是欧姆定律。

当然这个看起来很简单,你也能马上意识到这个东西是有限制的:电子必须是自由飞行-碰撞互相竞争差不多的状态下才能达到稳定,所以只有理论上看来的少数物质(金属?等离子体?)才会满足这个特性,尤其如果有其他作用力对电子起作用,那么欧姆定律就不成立。此外有个很重要的问题是,如果一个电场从远处传过来,那么电子不会立刻开始运动,也就是说在电场刚刚传过来的时候,电流是不存在的,所以对于这类物质,一个电信号过来,不管什么样的信号,前沿都会和在真空中一样以精确光速传播,过一会才变成物质中的实测光速。(好了,你问这个推论有没有实验证据?有,近年来量子光学的一个很好玩的工作就是测量确认这种瞬态前驱波的存在和速度。)

好了所以你看,如果是要从这个角度讨论问题,那么我们知道实际上对于这种导体,洛伦兹变换是不可能存在j=sigma E的正确变换关系的,因为j=sigma E根本就不是一个类似于L=ct这样的基本定义式,也不是麦克斯韦方程组那样的基本定律,而只是一个近似的平均值凑合公式。如果你要讨论运动系中的欧姆定律,请你先确定导体的导电机理,然后按照机理重新在新参照系中推导导电定律。比如如果你那块导体其实是等离子体,那就很好办,你直接重写等离子体中的运动方程就好,然后你会发现没有任何问题,只是j在运动系中不再等于sigma *E

上面说的是一种机理性理论,那么还有一种理论是什么呢?我们看另外一种考虑,不管怎样j=sigma EjE的关系式对吧?然后j肯定是由于E的影响产生的对吧?并且从因果律上来讲,某个时刻的E只应该影响以后的j,不应该影响以前的。所以我们可以把j写成关于E的某个积分,就是“j等于过去无限长时刻到现在所有的E的一个函数f(E)的积分OK,并且我们知道E恒等于0的话j应该(!)等于0,所以我们可以合理地猜测f(E)=sigma *E,sigma是某个函数;此外既然我们在伽利略框架下假设j是矢量,E是矢量,那么sigma应该是一个二阶张量。然后就是j=int_{-infty}^t sigma(t-tau)E(tau)dtau (对不起直接写Tex了呵呵)

那么这个和欧姆定律有什么关系呢?很简单,因为这个积分其实是一个卷积(只要重新定义一下sigma(t)函数),而卷积傅里叶变换下就成了成绩,所以我们可以给出频域下的表达式

J(w)=sigma(w)E(w)

这种推理也是一种理论,你可以称他为解析性理论,它的立足点是因果律,线性关系,卷积定理等等。有些人会认为这种理论比前面的机理性理论更加高大上一点(一种登峰造极的发展称为色散关系理论)。然而你一定要记住,所有对于机理性理论的限制,在这个理论中仍然存在,并且如果这种解析性理论得出了和机理性理论相互冲突的结论,那么解析性理论一般来说是物理上站不住脚的。这是很常有的事情,因为解析性理论中的线性关系,乘积关系什么的都是猜测的,它完全可能是错误的。

所以如果你发现j=sigmaE的解析性理论导出了和相对论不一致的结果,那么无非是前面的线性假设,乘法假设什么的错了,和相对论没有一毛钱的关系。毕竟解析性理论能得出什么结果,都完全依赖于前面的假设。

在这个问题上我们再说点有趣的事情。j=sigma E电气理论的基本定律之一,然而我们已经指出了在物理上它根本不是什么基本定律,它只是一个经验公式或者简化猜测,具体是什么依赖于你遵循哪种理论的指导。所以你其实是可以随便修改这东西得出你想要的任何结果的,只不过对于机理性理论的信奉者,你应该给出一个场景(比如说,某种可能的神奇材料),你可以从基本原理得出你的修改形式;对于解析性理论的信奉者,你需要向他们证明你的修改有道理,没有使用不靠谱的假设。但不管怎么样,这种修改仅仅是一种应用,而不是什么创新。有些人为了表示自己的创新,给sigma一个新的词汇比如称为“上帝量”,然后随便修改sigma的性质,比如认为sigma可能是一个有智力的函数,或者类似的什么玩意,发展各种数学理论,不必认为是灌水,但也不要以为物理上有什么意义。或者有人觉得j=sigma Ea=F/m相似,既然在某些物质中E=0也有j不等于0,那我就可以认为牛顿第二定律只是j=sigma E的近似,然后认为肯定有不用作用力就能加速的物体,这种创新也不要认真。(类似的例子有很多,比如我们可以拿流体力学的N-S方程来比拟麦克斯韦方程组,然后认为麦克斯韦方程组一定有非线性项。信了你就走火入魔了)




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