说明：因杨六省老师（Email: 13572503691@163.com）来信：”基于哥德尔的名声，我的这篇文章很难正式发表。中国科技论文在线的回复意见是：‘您的文章编辑较难把握，建议送专家进行预审，但预审时间较长，如愿意等待，请再次投稿，另，本站将在近期推出学术博客栏目，您可以将文章自行公示在博客中，无须等待审核。’ 考虑到您的《科学网》的阅读群体特好（我的关于哥德尔的两篇文章的阅读人次分别为1.27万人次和0.6万人次），想把《算术为什么是相容的》一稿发在《科学网》上，不知可否？

“1936年，格哈德·根茨恩提出了一种对算术一致性的证明，可是要做出证明，他需要采用一种有争议的方法，即人们所知道的超限归纳法。这种方法不属于正常的证明方法，因此似乎难以恰当地保证算术的一致性。根茨恩所做的是使用可疑的方法来证明显而易见的东西。

“基于上述情况，那就是说，迄今为止还从未有人涉足过算术相容性的证明”。但是，杨六省老师对此有自己的看法，现将其“算术为什么是相容的？”转载如下，欢迎大家进行评议，也可以直接与杨六省老师（Email: 13572503691@163.com）进行交流。唯恐出现差错，将原文献转化成PDF文档，以便下载浏览。

算术为什么是相容的（2016-05-12）.pdf

杨六省老师相关研究：

科学前沿：对哥德尔不完全性定理的质疑

意外考试悖论的歧义谬误

杨六省：3篇新作欢迎评议指正

杨六省：为什么说“对悖论分类的不断细化，没有实质意义”

杨六省：应用逻辑先后律消解意外考试悖论（2013-04-26修改）

惊人消息：哥德尔(Kurt Godel)不完全性定理的证明是无效的？！

排中律的新认识——它并不是普遍的思维规律

算术为什么是相容的

杨六省

（陕西省长安师范学校  西安  710100）

摘要：目的 证明算术是相容的。方法 舍弃算术公理，使用自然语言重建自然数理论。结果 在重建的自然数理论中，自然数及自然数加法算式是相容的；自然数加法的所有运算律以及自然数的序的基本性质均隐含于自然数的概念中，所以它们对于重建的自然数理论而言是相容的。结论 基于算术中的各类数均可由自然数定义以及复杂运算均可由加法运算定义，故算术是相容的。

关键词：数学基础；算术；相容性；自然语言；自然数；遍历运算

中图分类号：0143    文献标识码：A    文章编号：

Why is Arithmetic Consistent

Yang Liusheng

(Shaanxi Chang’an Normal School, Xi’an 710100)

Abstract: Purpose: To prove arithmetic is consistent. Method: axioms are not used and a natural number theory is reconstructed using natural languages. Result: in the reconstructed natural number theory, the natural number and the arithmetic expressions of natural number are consistent; all operational rules for natural number addition and the basic properties of order for natural numbers are implied in the concept of natural numbers, so they are consistent with regard to reconstructed natural number theories. Conclusion: because all kinds of arithmetic-based numbers can be defined by natural numbers and complex operations can be defined by addictive operations,

arithmetic is consistent.

Keywords：foundation of mathematics; Arithmetic; Consistency; Natural language; Natural number; Traversal operation

0 引言

Hilbert在1900年巴黎第二次国际数学家大会上，提出了23个未解决的数学问题，其中第2个问题是关于算术公理相容性的证明。1931年Gödel的“不完全性定理”指出了用元数学证明算术公理相容性之不可能。

有位学者说道，“应该记住这一点，一个很长的讨论是谬误的最有效的面纱。” ^[1]009Gödel不完全性定理，作为一个基础命题，却要通过一种细节艰深且极富技巧性的沉长推理才能证明，这本身就是可疑的。但是，基本原理是科学研究的伟大指南。据此，一个合理的质疑是：不管A是什么，也不管所给条件是否矛盾，在推理务必有效（不得出现歧义谬误，不得既应用A又应用与 A相矛盾的条件，等等）的情况下，由A推出¬ A是可能的吗？如果是可能的，这岂不与同一律和矛盾律相冲突吗？难道有效推理的概念可以与形式逻辑的基本规律不协调吗？如果是不可能的，但Gödel在他的不完全性定理的证明中，就有形如由A到 ¬ A的推理，这难道不可以进行质疑吗？再说，每个人从孩童时代起，就毫无例外地使用自然语言学习和掌握自然数的计算，并应用相关的运算律进行简便运算，如果自然数算术是相容的，又怎么会出现关于这种相容性的理由（即证明）不能用自然语言进行表述呢？难道一个系统与其本质属性可以是不一致的吗？ 

文[2]第86-87页指出，基于歧义谬误和循环定义的错误，Gödel不完全性定理的证明是无效的，从而，该定理的所有推论（自然包括“用元数学证明算术公理相容性之不可能”这一推论）的证明也是无效的。文[1]在结论部分还指出，Gödel不完全性定理不可能成立。

就算术运算而言，复杂运算可以通过简单运算来定义，例如，减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算，指数运算是重复的乘法运算，乘法又是重复的加法运算，因此说到底，加法运算是最基本的；就各类数而言，其最终都要借助于自然数来定义，因此，算术的相容性问题，其实质是，自然数是什么？自然数的加法算式是什么？它们及它们之间是否会产生矛盾？

Kronecker（1886）说：“上帝造整数，其它的都是人造的。” S.C.Kleene说：“我们不能够希望对自然数列的认识可以化归到本质上比它更原始的东西去。”^[3]18

但是，笔者得到的结论正好相反：自然数是可构造可直接定义的，因为它还可以化归为更为原始的两个概念，这就是“1”和遍历运算。本文的目的是，使用自然语言重建自然数理论，证明算术是相容的。

1 讨论

人类思维有能力借助于直觉抽象掉事物的任何具体内容，从而形成一个不可分割的具有独立性的空洞的纯存在客体，我们不妨用空心的阿拉伯数字1来表示这个比自然数更为原始的概念。

遍历运算的直观解释可以是，如果把人们由抽象思维所得到的若干个1比作是没有任何记号的面包（或石子、绳结等），那么，遍历运算就可以是意指给每块面包都涂上一个红点，甚至我们也可以用“想到”每块面包作为实施遍历运算的手段。一个弱智的人，他可能不会数数，但你吩咐他给小树林里的每棵树都浇上水，他可能会胜任，这足以表明，遍历运算概念是比“向前数”^[4]14更原始更简单的概念；也可以说成是，隐含于遍历运算概念中的“一一对应”关系（这里是指每块面包与其被涂上的红点或每棵树与被浇过水的树坑）是一个比“向前数”更为原始的概念。

Peano公理的缺点是，原本属于直接性的东西却变成间接性的东西了。这样一来，原本可以由概念进行直接解释的东西，却变成不得不进行证明，例如，2+2为什么等于4？关于运算律成立的理由，也是如此——这一缺点使得算术公理相容性的证明变得难以进行。本文希望回归到人类认识自然数的真实起源以重建自然数理论，从而达到证明算术相容性的目的。

1.1 关于自然数的定义

上文已经提到，“一一对应”是比“向前数”更为原始的概念。但遗憾的是，人们忽视了一个连带（伴随）的概念，这就是一一对应关系的构成，还有一个构成的方式（步骤）问题，本文正是基于这一思路重建自然数理论。 

（1）自然数1的定义。

对人们由抽象思维所得到的1实施遍历运算的结果，我们把它记作“1'”，简记作1，称作自然数1。

（2）自然数2的定义。

对人们由抽象思维所得到的“1，1”实施遍历运算，我们可在（1）的基础上进行，于是，有且只有如下2种方式：

第1种方式是将新添加的1'（即1）作为一个独立的新步骤。如果两个步骤之间用分号“；”隔开，那么，遍历运算的方式（此时指各步骤尚没有当作整体的部分；此说明下文不再特别写出）可记作：1；1。接下来，我们做相反方向的工作，即把被隔开的两个分离的步骤衔接起来构成一个整体（但仍会保留住存在着两个步骤的痕迹,犹如把一件衣服已裁剪好的各 “部分”缝合起来，仍能够对不同的部分进行区分一样），操作方法是用符号“+”置换分号“；”，这样，遍历运算的方式（此时指各步骤均已作为整体的部分；此说明下文不再特别写出）就可记作：1+1。

第2种方式是将新添加的1'（即1）与（1）中原有的1'（即1）合在一起作为一个统一的步骤，记作“1，1”（注：同一个步骤内的两个相邻的1，我们约定用逗号“，”分开），简记作2，称作自然数2。

综合以上两种情况，对“1，1”实施遍历运算的方式是：“1；1”和“1，1”，简记作：1+1和2。

（3）自然数3的定义。

对“1，1，1”实施遍历运算，我们可在（2）的基础上进行，于是，有且只有如下2种方式：

第1种方式是将新添的1'（即1）置于（2）的现有结果“1；1”和“1，1”的后面作为一个新的独立的步骤，这样得到的遍历运算的方式是：“1；1；1”和“1，1；1”。

第2种方式是将新添的1'（即1）分别并入到（2）的现有结果“1；1”和“1，1”的各步骤中去，这样得到的遍历运算的方式是：“1，1；1”、“1；1，1”和“1，1，1”。

综合以上两种情况，删除所得结果中的重复者，对“1，1，1”实施遍历运算的方式是：“1；1；1”、“1，1；1”、“1；1，1”和“1，1，1”，可简记作：1+1+1、2+1、1+2和3，3称作自然数3。

（4）自然数4的定义。

对“1，1，1，1”实施遍历运算，我们可在（3）的基础上进行，于是，有且只有如下2种方式（以下采取较为简略的表述形式）：

第1种方式是分别在（3）的现有结果1+1+1、2+1、1+2和3的后面均添加“+1”，这样得到的遍历运算的方式是：1+1+1+1、2+1+1、1+2+1和3+1。

第2种方式是对（3）的现有结果1+1+1、2+1、1+2和3中的每一个，依次把其中的各个自然数（注：每次只能针对其中的一个）置换成它的后继（注：我们把2叫做1的后继，1的后继也可记作1⁺ ；把3叫做2的后继，2的后继也可记作2⁺ 或1⁺⁺ ；…），这样得到的遍历运算方式是：2+1+1、1+2+1、1+1+2；3+1、2+2；2+2、1+3；4（注：3的后继是4，称作自然数4,其代表的遍历运算方式是 “1，1，1，1”）。

综合以上两种情况，删除所得结果中的重复者，对“1，1，1，1”实施遍历运算的方式是：1+1+1+1、2+1+1、1+2+1、1+1+2、3+1、1+3、2+2和4。

……

说明：⑴对于同一个“1，… 1”实施遍历运算，“分步骤”概念的含义可作如下直观的解释：如果猎人每天都对打猎的成果作记录的话（“每天” 就是意指一个独立的步骤），“1+1+1”表示，第1天打猎1只，第2天打猎1只，第3天打猎1只；“2+1”表示，第1天打猎2只，第2天打猎1只；“1+2”表示，第1天打猎1只，第2天打猎2只；3表示，只1天就打猎3只。不难看出，遍历运算中的“分步骤”的概念，并不是人为杜撰的，它是客观存在在遍历运算概念中的必然反映。

⑵基于运算结果等效性的考虑，我们称那些凡能对 “1，… 1”实施遍历运算的所有表达式彼此相等，用符号=（=读作“等于”）连接，例如，1+2=2+1，1+2=3。只是由于遍历运算中只有一个步骤的表达式最为简单，我们就把它视作具有相等关系的各表达式的共同参照物，特称作自然数。现在我们终于可以在重建的自然数理论的框架下来回答Terence Tao教授在文[3]第18页中所提及的相关问题：自然数是什么？答：自然数是对人们由抽象思维所得到的诸多的1实施遍历运算的一种特殊方式，即只有一个步骤的遍历方式。自然数是可构造的吗？答：是。因为对于任意的“1，… 1”，我们总可以经过“有限步骤”对其实施“只有一个步骤”的遍历运算（注:这里的两个“步骤”意义不同，务必区分：前者特指“1，… 1” 的遍历运算结果“1，…1”中的逗号“，”个数是有限的，后者特指“1，… 1” 的遍历运算结果“1，…1”中没有分号“；”——前面“自然数2的定义”一段说过，分号“；”的意义是表示将两个步骤隔开）。自然数是由什么构成的？答：特殊的即只有一个步骤的遍历运算方式构成了自然数。自然数是物理对象吗？答：否。因为遍历运算的方式问题，不属物理学的研究范畴，因此，自然数不是物理对象。自然数度量什么？答：自然数不度量任何具体事物，否则它就不是一个极度抽象的概念；凡自然数能从什么地方经过再次抽象而得到，就能回到原处得到应用。

⑶对于上述表述中的表达式“a+b”,我们称它是一个加法算式，其中的“+”读作“加”，表示加法运算。a与b 均称作加数；“a+b”的运算结果叫做和，这个和即为与其相等的自然数（即下图式中“a+b”所在行的末项），例如，2+2的和就是4，等等。当然，1+1+2+1也是一个加法算式，其和同样为与其相等的自然数（即下图式中“1+1+2+1”所在行的末项），这样就有1+1+2+1=5。

⑷自然数加法算式的实质是什么？符号“+”早在“自然数2的定义”的段落中就已出现，它的含义是将2个分离的遍历运算步骤衔接起来以便得到一个整体性的遍历运算的方式。由此不难知道，自然数的加法算式表示的是有两个或两个以上步骤的遍历运算方式。根据遍历运算的意义，不难理解，自然数加法的运算性质已包含在遍历运算的概念之中了。

综上所述，我们可得到如下自然数及加法算式一览无遗表（下文简称一览表）：

自然数及加法算式一览无遗表

1

1+1，2

1+1+1，2+1，1+2，3

1+1+1+1，2+1+1，1+2+1，1+1+2，3+1，1+3，2+2，4

1+1+1+1+1，2+1+1+1，1+2+1+1，1+1+2+1，1+1+1+2，3+1+1，1+3+1，1+1+3，2+2+1，2+1+2，1+2+2，4+1，1+4，3+2，2+3，5

……

几点说明：

①数学的真理性在于概念的合理性，因为推理并不具有创造性，它只是将前提中隐含的东西明白地揭示出来。概念的合理性可由可构造性来保证，而可构造性就是相容性的别名。由实施遍历运算的两种方式可知：（i）一览表能够包括任意的自然数和任意的自然数加法算式（注：碰到多重括号的情况，仍然可以化归为一览表中的某个算式，例如，对于算式“1+｛［2+（1+1）］+5+［（8+1）+3］｝”，如果不使用任何括号，所对应的遍历运算就分为8个步骤，从而原算式可化归为：1+2+1+1+5+8+1+3）。（ii）一览表中的两个表达式（指自然数或加法算式）相等，当且仅当（if and only if (iff)）它们位于一览表中的同一行，否则会导致矛盾，即与表达式相对应的不同的“1，… 1”可以一一对应（注：与一览表相对应，我们依次给出的“1”；“1，1”；“1，1，1”；…，其中的任意2个都是相异的，这是不证自明的）。于是我们有结论：一览表是相容的。

②自然数的排序。如果a和b都表示自然数，它们要么对应于同一个 “1，…1”，要么对应于不同的“1，…1”，前者记作a=b，后者记作a≠b，依据排中律，二者必居其一。对于a≠b的情况，要么a对应的“1，…1”是b 对应的“1，…1”的真部分（换一种说法，a产生于b之前），即有 b=a+p，记作b>a, （读作b大于a）,也可记作a<b（读作a小于b）；要么a对应的“1，…1”不是b 对应的“1，…1”的真部分，这时b对应的“1，…1”是a对应的“1，…1”的真部分，即有 a=b+q，记作b<a,也可记作a>b，依据排中律，二者必居其一。于是我们有如下结论（自然数的序的三岐性）：设a和b是自然数，那么下述三命题中恰有一个是真的：a<b，a=b，a>b。至于自然数的序的有关基本性质，由其证明（这里不予赘述）可知，它们与一览表是相容的。

③从构造方面讲，自然数2借助于自然数1而构成，自然数3借助于自然数2而构成，…据此我们说，自然数是序数；从运算结果讲，遍历运算使得 “1，…1”变成“1'，…1'”，如果我们不去区分实施这种运算的方式的不同，而只着眼于考虑“1，…1”或“1'，…1'”的“多少”，例如，3<5，据此我们说，自然数又是基数。

④以往人们总喜欢问2+2为什么等于4之类的问题，但这类问题总让人感到有些怪异，因为这就如同问，有“4”块面包，第1天吃2块第2天又吃2块与第1天就吃4块，为什么结果是一样的？但令人不解的是，问题的怪异性并没有引起人们对应用Peano公理这种方式来刻画自然数概念的合理性产生怀疑，相反，人们依旧执着于依据Peano公理寻求问题答案并给出证明。事实上，问2+2为什么等于4，与问a为什么是a没有什么两样。因为根据同一律，a就是a；同样，2+2为什么等于4的道理就应该包含在相等概念的定义之中，何须证明？（注：只有隐含的即具有间接性的东西的被揭示才算得上证明）——由于对 “1，… 1”实施遍历运算的所有方式（表达式），我们称它们相等，这就是说，吃掉“4”块面包（注：它可以被视作是对遍历运算概念的直观解释）这个概念本身，就包含着第1天吃2块第2天又吃2块和第1天就吃4块等等各种可能情况。

⑤关于自然数0的规定。猎人第1天没有打到猎物，我们用符号0来表示（0称作自然数0，读作自然数零，或简读作零），第2天打到的猎物是a只，于是规定0+a=a（注：a也可以为0，下同）就显得是自然合理的；同理，猎人第1天打到的猎物是a只，第2天没有打到猎物，我们规定a+0=a同样是自然合理的，因为两种规定都与客观事实相一致。基于这种补充规定，我们可以在一览表最顶端1的上面添上自然数0。

为了凸显规律起见，在一览表中的同一行，总是采取把加数个数多的排在前面，把“各加数乘积的较小者”排在前面（注：从第5行起，末项例外；仅为了说话方便起见，这里提前使用了“乘积”的概念）。

1.2 自然数加法的交换律和结合律

容易说明，加法和乘法的各种运算律是隐含于一览表中的。既然一览表是相容的，所以，加法和乘法的各种运算律对于自然数系而言也是相容的。

（1）关于自然数加法的交换律

没有限制就是被允许。遍历运算只要求把“1，… 1”中的每个1变为1即可，因此，自然数加法的交换律就是必然隐含于遍历运算概念中的性质。其实，根据自然数的构造方法来验证“a+b= b+a”也很容易。当两个自然数a和b相加之和等于2时（注：a与b中含0的情况，由于情况简单，这里不予讨论），交换律显然成立；当两个自然数a和b相加之和等于3时，由于“1+2”与“2+1”处于一览表中的同一行，因而它们是相等的。假设当两个自然数a和b的和等于c时, “a+b=b+a”成立，即“a+b”与“b+a”位于一览表中的同一行，那么，对于c的后继而言，根据上文中的第2种遍历方式，我们可以知道“（a +1）+ b ”、“a +（b +1）”、“（b +1）+ a ”、“b +（a +1）”同样位于一览表中的同一行，因而它们是相等的，这就是说，当两个自然数a和b的和等于c⁺ 时,交换律也成立，故根据数学归纳法，加法的交换律对任意的自然数a和b 均成立。

（2）关于自然数加法的结合律

自然数加法的结合律与交换律的情形相同，该运算律也是必然隐含于遍历运算的概念之中的。理由是，与算式“（a+b）+c”和“a+（b+c）”相对应的遍历运算，如果都被看做是分为3个步骤的话，两个算式均可表示为“a+b+c”，因而二者是相等的。其实，也可以对“（a+b）+c=a+（b+c）”进行“证明”。当a、b、c都等于1时（注：这里不讨论a、b、c中含0 的情况），加法结合律显然成立。假设当“1，… 1”所对应的自然数是m 时，“（a+b）+c=a+（b+c）”成立，对于“1，… 1，1”（注：比前者多了一个1）实施遍历运算，根据上文中的第2种遍历方式，我们有遍历结果：［（a+b）+1］+c、（a+b）+（c+1）、（a+1）+（b+c）、a+［（b+c）+1］。对于同一个“1，… 1”，用两种不同的方式实施遍历运算，其结果是相等的。［（a+b）+1］对应的第2种遍历方式是［（a+1）+ b］和［a+（b+1）］，［（b+c）+1］对应的第2种遍历方式是［（b+1）+ c ］和［b+（c+1）］，做一下代换，于是我们关于“1，… 1，1”有遍历运算方式：［（a+1）+ b］+c、［a+（b+1）］+c、（a+b）+（c+1）、（a+1）+（b+c）、a+［（b+1）+ c ］、a+［b+（c+1）］。显然，这些算式位于一览表中的同一行，因而它们是相等的，即有：［（a+1）+ b］+c=（a+1）+（b+c）；［a+（b+1）］+c= a+［（b+1）+ c ］；（a+b）+（c+1）= a+［b+（c+1）］。这就是说，当“1，… 1，1”对应的自然数是m⁺ 时,加法结合律也成立，故根据数学归纳法，加法的结合律对任意的自然数a、b、c恒成立。

1.3 关于自然数的乘法运算

1.3.1 自然数乘法运算的定义

乘法是重复的加法。例如，在一览表中自然数12所在的行，就有12个1相加，6个2相加，4个3相加，3个4相加，2个6相加，于是，我们特别把a+a+…+a（共b个a）记作a×b ，读作a乘以b；a叫做被乘数，表示相同的加数，b叫做乘数，表示相同加数的个数；符号×叫做乘号，表示乘法运算；a×b的运算结果叫做乘积。我们特别规定：b=1时，a×b= a×1=a；b=0时，a×b=0。这里顺便一提的是，问4×3或2×6等为什么等于12，同样是一个让人感到怪异的问题，理由同前面的加法例子。

1.3.2 自然数乘法的交换律和结合律 

（1）关于自然数乘法的交换律

假设需要实施遍历运算的对象（由抽象思维得到的若干个1）被排列成b行a列（注：a、b均不为0）。如果我们的遍历运算的第1步是遍历第1行的a个1；第2步是遍历第2行的a个1；…, 第b步是遍历第b行的a个1，根据乘法定义，我们就得到算式a×b；如果我们的遍历步骤依次按列进行，就得到算式b×a，由于两种不同的遍历运算方式针对的是同一对象，故有a×b= b×a。

我们特别规定，a与b有一个为0时，a×b与b×a均为0。  

（2）关于自然数乘法的结合律

假设需要实施遍历运算的对象有c个，且每个中的1都被排成b行a列。如果我们的遍历运算是依次遍历c中的每一个，根据乘法定义，我们就得到算式（a×b）×c。考虑到上述c个对象中的每一个都有b个a，根据乘法定义，共有b×c个a ，再一次地根据乘法定义，我们就可得到算式a×（b×c）。故有（a×b）×c = a×（b×c）。

1.4 自然数乘法对于加法的分配律

   要对b+c个“a个1”实施遍历运算，如果一次性实施遍历运算，算式就是a×（b+c）。如果分为2个步骤，第1步骤先对b个“a个1”实施遍历运算，算式是a×b；第2步骤再对c个“a个1”实施遍历运算，算式是a×c,两个步骤合在一起（符号“+”本身就是将分离的步骤衔接起来的意思），算式就是a×b+a×c。由于不同的遍历方式针对的是同一遍历对象，故有a×（b+c）= a×b+ a×c。

1.5 欧几里得算法

   下面我们要证明的是：设n是自然数，且q是不等于0的自然数，则存在唯一自然数m和r，使得n=mq+r且0≤r<q。

证明：当n<q时，m=0, r=n,命题成立。当n=q时，m=1, r=0,命题成立。当n>q且q=1时，恒有m=n，r=0，命题成立。

下面考虑q>1且n>q的情况。当q=2时, 如果n= 2t（t>1），则m=t, r=0；如果n= 2t+1（t ≥1），则有m=t, r=1。当q=3时, 如果n= 3t（t>1），则有m=t, r=0；如果n= 3t+1（t ≥1），则有m=t, r=1；如果n= 3t+2（t ≥1），则有m=t, r=2。假设q>1且n>q时，存在自然数m和r，使得n=mq+r且0≤r<q：如果0≤r<q-1，则n+1=mq+(r+1)，满足命题中不等式条件 ；如果0≤r=q-1，则n+1=（m+1）q+0，满足命题中不等式条件，于是根据归纳法，存在自然数m和r，使得n=mq+r且0≤r<q。下面证明m和r的唯一性。设另有m₁和r₁，使得n= m₁q+r₁且0≤r₁<q。假设m₁≠m，不失一般性，不妨设m₁=m+ m₂（m₂>0），则有n= m₁q+ r₁= mq+ m₂q+ r₁，显然m₂q+ r₁> r，故有n= m₁q+ r₁= mq+ m₂q+ r₁> mq+r，即有n>n，矛盾，故m₁=m。如果m₁=m，但r₁≠r，不失一般性，不妨设r₁>r ，则有n= m₁q+ r₁= mq+r+ r₂（r₂>0）=n+ r₂>n，矛盾，故r₁= r。

2 结论

综上分析，结论是：①自然数及加法算式一览表是相容的；②自然数加法的所有运算律、自然数的序的三岐性及自然数的序的基本性质均隐含于一览表中，因而它们与一览表是相容的；③基于算术中的各类数均可借助于自然数来定义、复杂运算可借助于加法运算来定义，故本文的结论是：算术是相容的。由于本文重建的自然数理论可以推出算术公理，所以，算术公理的相容性事实上业已得到了间接性的证明，因而Hilbert的第2问题已告获得解决。

[参考文献](References)

[1] Whately, R. Elements of Logic, London: Longmans Green,1948,vod.3,section5. 转引自武宏志、马永侠：《谬误研究》，西安：陕西人民出版社，1996年，197页。

[2] 杨六省.对哥德尔不完全性定理的质疑[J].前沿科学,2014（1）：80-89.

YANG L S. Question of Godel’ s Incompleteness Theorem[J]. Frontier Science, 2014（1）：80-89.

[3]S.C.克林.元数学导论（上册）[M].莫绍揆,译.北京:科学出版社，1984.

S.C. Ke Lin,.Introduction to Metamathematics (volume one) [M].translated by Mo Shaokui, Science Press, [4][澳]陶哲轩.陶哲轩实分析[M].王昆扬，译.北京：人民邮电出版社，2008.

[Australia]Terence Tao. Analysis[M].translated by Wang Kunyang, Posts & Telecom Press, Beijing，2008.

“算术为什么是相容的”一稿附件：

重建的自然数理论可以推出Peano公理

S.C.Kleene的《元数学导论》（上册）中译本第19页中，将Peano公理稍作改动，列出如下5条：

1.0是自然数。

2.如果n是自然数，则n'（指n的后继者——笔者）亦是自然数。

3.只有由1及2给出的才是自然数。

4.对于任何自然数m与n,当m' = n'时必有m = n。

5.对任何的自然数n，n' ≠0。

前3条没有什么可以多说的，我们看第4条。m'与n'相等，由相等概念的定义（“我们称那些凡能对“1，… 1”实施遍历运算的所有表达式彼此相等”）及正文中的一览表是相容的可知，m'与n'意指同一自然数;若m ≠ n，则可推出m' ≠ n'，这是不可能的，故第4条得证。

再看第5条。由正文关于后继数的定义知，1,2，…均是某自然数的后继数，它们的共同点是均具有一个特定针对的“1，… 1”，即它们是指对各自的“1，… 1”实施遍历运算的一种特殊的遍历方式，唯独自然数0不具有这一性质，故0不是任何自然数的后继数。

在依据Peano公理的讨论中，对于任何自然数n和m，有n+m'=（n+m）'。在重建的自然数理论中，设与n+m 相等的自然数是c，则与c的后继数相等的就有（n+m）'和n+m'，它们分别出现在第1和第2种方法中。

在依据Peano公理的讨论中，对于任何自然数n和m，有m×n'=m×n+m。在重建的自然数理论中，m×n'与m×n+m均表示n'个m相加，故同样有m×n'=m×n+m。

其余相关条文，不再一一赘述。