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[转载]杨六省∣√2=p/q(p,q 互质)与√2=p/q(p和q全是整数)等价吗?

已有 2493 次阅读 2022-3-11 20:22 |个人分类:数学研究|系统分类:教学心得|文章来源:转载

因杨六省老师之邀,之前转载过多篇关于数学教学方面的论述,如“杨六省:美国《数学教育研究杂志》的退稿理由让我无语等,昨天,杨六省老师又寄来一篇新作——√2=p/qpq 互质)与√2=p/qpq全是整数)等价吗?希望借助科学网博客,就相关问题进行探讨,下面是杨六省老师的观点阐述,仅仅在此进行转载,欢迎数学行家对此进行点评,也可以直接与杨六省老师联系进行交流探讨。

2=p/qpq 互质)与2=p/qpq全是整数)等价吗?

杨六省∣

笔者于2022-3-7给中科院某院士(没有征得该院士本人同意,不便公开院士姓名)发了一份电子邮件,内容如下:

敬请(XXX)院士对下面这个帖子批评指正。

268个字让你确信

——毕达哥拉斯学派关于√2不是有理数的证明是无效的

杨六省

Yangls728@163.com

合理的设定反论题是正确应用反证法的必要条件。如果设定反论题这一步错了,整个的证明就是无意义的了。据此我们说,下面的268个字的说理足以表明,毕达哥拉斯学派关于√2不是有理数的证明是无效的。

应用反证法务必满足“反论题假则原论题真”。毕达哥拉斯学派将√2=p/qpq 互质)作为√2不是有理数的反论题,正确吗?很明显,在毕达哥拉斯学派关于√2不是有理数的证明中,所谓√2=p/qpq 互质)为假,就是指“pq 互质”为假,反之亦然。但是,“pq 互质”为假蕴涵“pq全是整数”,因为互质概念及其真假都是针对两个整数而言的。另一方面,原论题√2=p/qpq不全是整数)为真表明“pq不全是整数”,这与“pq 互质”为假所蕴涵的“pq全是整数”矛盾,说明“反论题假则原论题真”不成立,故√2=p/qpq 互质)不是原论题“√2不是有理数”的反论题

 

该院士回复:我认为该证明是对的。因为“根号2是有理数”和“根号2是两个互质的整数之比”这两个命题等价。

笔者回复:谢谢回复。不等价!敬请参阅附件第一、二点质疑。

笔者再次回复:

上一个帖子已表明,√2=p/qpq 互质)与√2=p/qpq全是整数)并不等价,因为√2=p/qpq全是整数)是论题“√2不是有理数”的反论题(无人提出异议),而√2=p/qpq 互质)则不是。

……下面是笔者曾经准备发布而没有发布的文字。

还是举个浅显的例子吧。甲碰到朋友乙刚从饭店出来,于是问道:“吃好了没有?”

如果乙确实在饭店吃了饭,但他并没有吃好,却回答说“吃好了”,或者,他真的吃好了,却回答说“没有吃好”,这样的回答,尽管是虚假判断,但是有意义。相反,如果乙在饭店根本就没有吃饭,只是进去看了一下,在这种情况下,不管他回答“吃好了”,还是回答“没有吃好”,都是没有意义的。简言之,只有在乙确实在饭店吃了饭的情况下,甲的问话才是有意义的。同理,只有在√2是有理数(分数)的情况下,我们问“√2可以写成最简分数的形式吗?”才是有意义的,而在√2不是有理数(分数)的情况下,我们问“√2可以写成最简分数的形式吗?”就是没有意义的。事实上,√2=p/qpq 互质)可以被看作是对“√2可以写成最简分数的形式吗?”的一种回答,而“√2可以写成最简分数的形式吗?”是一个复杂问语,换一种说法,√2=p/qpq 互质)本身就蕴涵着一个复杂问语。复杂问语及对复杂问语的回答都是没有意义的。√2=p/qpq全是整数)虽是个假命题,但有意义,而√2=p/qpq 互质)则没有意义,也无真假可言,二者并不是等价的,也即,“√2可以写成分数的形式”与“√2可以写成最简分数的形式”这两种说法并不是等价的。当然,如果去掉“√2=”这种记号,那么,谁都知道,任何一个分数都可以写成最简分数的形式,反过来,任何一个最简分数都可以写成与之等值的分数。总之,我们必须审慎地领悟和区分逻辑层次方面的微妙差异,要把虚假的但有意义的的命题与没有意义没有真假的命题区别开来。再举个例子,不可以把“两人能否同时都拿到入场卷”与“两人的座位能否被安排在一起”的话题相混淆,因为如果前者是不可能的,那么,讨论后者就是不合理的。你不能因为“假设两人能够同时都拿到入场券”这个“假设”是合理的,就认为进一步的假设——“假设两人的座位能够被安排在一起”——也是合理的。列宁说得好,真理再向前多走一步,就会变成谬误。的确是这样,在前一个假设并不成立的情况下,后一个假设就是谬误。我们不妨再回到前面的例子。无论乙是否在饭店吃了饭,“假设乙在饭店吃了饭”或“假设乙在饭店没有吃饭”这两种假设在逻辑上都没有问题。但是,如果乙在饭店没有吃饭,那么,无论假设乙“吃好了”或是假设乙“没有吃好”,这两种假设都是没有意义的。

总之,毕达哥拉斯学派关于论题“√2不是有理数”所设定的反论题√2=p/qpq 互质),与某人在饭店没有吃饭而假设他“吃好了”或假设他“没有吃好”在逻辑上没有什么两样。同样的,25个世纪以来,普天下数学学人都相信毕达哥拉斯学派证明了√2=p/qpq 互质)为假,这就如同人们相信,某人在饭店没有吃饭,我们却能够证明他“吃好了”或者能够证明他“没有吃好”一样的荒谬。

大道至简。不要忽视常识。常识常常包含着大道理,它能向你指点迷津。

鉴于本帖未附作者文章,故作如下补充说明:

如果√2=p/q(p,q 互质)与√2=p/q(p和q全是整数)等价,那么,它们同真同假。但由“268个字…”知,它们不可能同假。事实上,依据拙文揭示,√2=p/q(p,q 互质)无真假可言,于是,√2=p/q(p,q 互质)与√2=p/q(p和q全是整数)同样不可能同假。总之,无论是否承认√2=p/q(p,q 互质)有真假,√2=p/q(p,q 互质)与√2=p/q(p和q全是整数)都不能同假,故√2=p/q(p,q 互质)与√2=p/q(p和q全是整数)不等价。






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