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网络同步也有分叉问题

已有 7120 次阅读 2012-12-15 17:36 |系统分类:论文交流| 论文, 网络, Journal

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我们投《International Journal of Bifurcation and Chaos》的论文《Bifurcation analysis of synchronized regions in complex dynamical networks》(作者:Longkun TangJun-an LuJinhu Lu and Xinghuo Yu最近已经发表。这篇文章提出了一个新的概念—网络同步域的分叉,指出复杂动力网络的同步域也有分叉问题,在节点动力学参数改变时会产生同步域类型和性质的改变和转换

我们先回顾一下动力系统中经典的分叉例子—Logistic模型x(n+1)= λx(n) (1-x(n)), 当参数λ在(0,1] 时,x=0是吸引不动点;当λ在(1,3] ,x=0变为排斥不动点,新产生x=1-1/λ为吸引不动点,所以λ=1为第一次分叉点;当λ大于3x=1-1/λ从吸引点变成排斥点,同时产生2-周期,称λ=3为倍周期分叉点。继续增加参数λ, 原来的2周期点失稳,又出现4周期点,再出现8周期点,2^n周期点,….从λ=3到λ=4过渡时, 周期点增加,从倍周期分叉通向混沌.λ的极限值为λ=3.569945672,当λ趋近于这个值时,周期无穷长实质是非周期,于是产生混沌,这个值是有序和无序的分水岭,从这个值到λ=4为混沌区域(如图1)。这个例子告诉我们,某些非线性系统,当参数改变时,在某些参数值上系统的动力学性质会发生质的改变,原有的动力学性质会遭到破坏,同时又会产生新的动力学行为。那么复杂动力网络有没有类似的现象呢?我们的研究表明,网络同步也有分叉问题。

 

按照复杂网络主稳定函数方法,在给定动力学和内连矩阵情况下,网络同步化稳定区域便完全确定,区域类型分为:无界区域、有界区域、多个有界或者无界区域,以及空集。那么如果把复杂动力网络整体看成一个大的动力系统,在内连矩阵给定下,动力学参数的变化会造成主稳定区域怎样的变化呢,会不会在某些参数值上主稳定区域的类型和性质发生改变和转换呢。实际系统中参数是容易受到干扰而改变的,因此讨论这个问题具有重要的意义。

我们首先研究了节点动力学为最简单的二阶常系数线性系统的网络,在内连H=diag{1,0}情况,固定系统参数a=c=1,b=-1,让参数改变d,作分叉图(横坐标为参数,纵坐标为耦合矩阵特征值与耦合强度的乘积alpha),发现在d小于0时,alpha足够大网络是同步的,当d大于0小于1时,alpha只有在一个有界范围网络才能同步,而当d大于1时,无论多么大的alpha,网络都不能同步,所以d=0是无界-有界型分叉点,d=1是有界-空集型分叉点(如图2)。而且,即使在同一有界或无界类型中, 其性质也是变化的,耦合强度和特征值的范围也依赖于参数d而变化。

 

进一步我们研究了统一系统(单参数)为节点动力学的网络,考虑同步态为平衡点和同步态为吸引子两种情况,分别讨论了两大类内连矩阵下的同步域分叉问题。同步态为平衡点情况,在内连H=diag{1,0,0}时,用传统的计算动力系统分叉的方法计算平衡点以及找出平衡点出现特征值变号的点正是同步稳定域分叉点,得到参数a=1/29为无界-空集型分叉点(如图3);当内连H=I(12)时,同样计算分叉点,得到参数a=0.8为无-空集型分叉点。当内连H=I(ij)+I(kl)时,共有36种情况,其中12种出现分叉,24种不出现分叉。这些分叉图的分叉点及同步域都可以用传统的计算动力系统分叉的方法解析地表达出来。而同步态为吸引子情况的分叉图只能靠数值计算了,譬如内连H=diag{1,0,0},出现无界-有界型分叉点和有界-空集型分叉点;内连H=I(12)时,同步化区域出现了三个分叉点a=0.118,0.133,0.157,分别为有界-多个有界型、多个有界-有界型、有界-空集型分叉(如图4)。

网络同步域的分叉问题告诉我们什么?

首先,它告诉我们,如果把复杂动力网络整体看成一个大的动力系统,在内连矩阵给定下,在节点动力学某些参数值附近网络的同步域类型和性质会发生的改变和转换。而实际系统中参数是容易受到干扰而改变的,因此讨论这个问题具有重要的意义。有界(或无界)-空集型分叉表明,参数在分叉点附近,从原来调整耦合强度和网络结构可以达到同步,转化到无论什么网络取什么耦合强度都不可能达到同步。无界-有界型分叉表明,参数在分叉点附近,从原来无论什么网络只要耦合强度足够大总可以达到同步,转化到耦合强度过大和过小网络都不可能达到同步。其它类似。所以,分叉点成为不同同步域的转化点。同时它也告诉我们,不能笼统地说全连接网络一定能同步,环状网络一定难同步,它与动力学的参数有关对于同步化区域为无界的情形,任意网络都可以同步,只要耦合强度足够大,即使环状网络也总存在某耦合强度使网络达到同步。对于同步化区域为空集的情形,即使全连接网络也不能同步。对于有界的同步化区域,给定网络在调整耦合强度后不一定都可以同步。另外,内连是正定时同步化区域一定是无界的,就是只要足够大的耦合强度都可以实现同步,所以不可能出现有界;但是内连是半正定时同步化区域就不一定是无界的可能有界、无界或者空集。譬如统一系统取H=diag{1,0,0}a=1/29是无界-空集型分叉点,参数a大于1/29时无论如何也不可能同步原因:内连为正定表示吸引子的3个方向都有反馈,否则不足以实现同步。因此,动力网络在给定内连后,动力学方程参数特别重要,所以研究同步化区域的参数分叉点是关键

网络同步域的分叉概念刚刚提出,还有许多问题有待研究,譬如可以将它应用到网络拓扑的识别中,这方面我们最近已经有一些结果了。

 

 

 



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