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Eureka

已有 4017 次阅读 2010-10-10 13:46 |个人分类:学数学|系统分类:教学心得

 

当年,

 

黛玉苦想宝玉,血写诗书,只求一见;

 

贾岛为琢磨是僧推月下门还是僧敲月下门,来回推敲;

 

阿基米德踏进浴盆,发现水位升高,突然明白排出的水的体积必须等于浸没在水里的身体的体积——乃绝好的办法精确量测不规则物体的体积的好办法,遂顾不得穿衣,他跳出浴盆,光着身子满街狂奔,大喊Eureka(希腊语,我找到了!)地要与世人分享;

 

的感觉

 

在今天,在我被一道初二的代数题缠绕一日几近窒息后的今天,在该题被我破解的一霎那,重现!

 

联想《雨霖铃.寒蝉凄切》,《致爱丽丝》,。。。。多少美奂诗词,多少旷世乐章,于我们是如此熟悉,

 

可有谁记得,那激发柳永词情,贝多芬灵感,的人儿,长得是何般模样?

 

她应该是个神吧!给平淡的世界中创造不一般感受的神!

 

那让我们如此欣赏,珍爱,拥抱,仿佛稍纵即逝,望穿双眼,望断秋水突然降临的感觉的神!

 

因此记下,感谢题!

 

【问题】我们知道

1x2x3x4+1=5x5                                               (1)

2x3x4x5+1=11x11                                             (2)

3x4x5x6+1=19x19                                             (3)

4x5x6x7+1=29x29                                             (4)

请问,对任意4个连续的正整数,其连乘之积与1的和是否都可写成某个正整数的平方。请说明理由。

 

【解答】

误区:

  • 很容易想到将任意4个连续的正整数写为n(n+1)(n+2)(n+3),或者(n-2)(n-1)n(n+1),并化简、化简,看看是否能写成平方差公式
  • 或者想成将前后两组任意4个连续的正整数相减,看看两个"某个正整数的平方"之差有什么规律
  • 然后再使劲地想,某个整整数与4个连续正整数之间的关系!

如果只这样想,想想出来,休想!

 

曲径通幽

  • 首先将四个连乘整数在化简前先巧妙调换位置,——前后相乘,中间两项相乘,此乃关键。
  • 然后凑平方差

 

笨办法:

实不相瞒,我是通过先找整数的平方的数值(假设为m)与n的关系,反推出来的。

对式(1),n=3,5=3^2-(3+1)

对式(2), n=4, 11=4^2-(4+1)

对式(3), n=5, 19=5^2-(5+1)

对式(4), n=6, 29=6^2-(6+1)

 

于是有了法则。于是诸如请对(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1因式分解的题,从此对于我将是小菜一碟。

聪明的,这于你可能早就是,但对我,之前可真是如铁的雄关漫道,汗滴!



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