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从另一个维度讨论微积分的无穷小量

已有 1200 次阅读 2021-8-19 22:05 |个人分类:一日三省|系统分类:论文交流

  微积分,不需要多描述,几乎人人都知道。而微积分最让人疑惑的就是ε- δ语言。许多人总是在想法来解释ε- δ语言,很大牛仔讨论这个问题。不过,我总是感觉不那么尽兴,解释通常比较牵强。
  这可能搞错了方向。
  在讨论这个问题之前,从一个思想试验说起。让无数只猴子坐在打字机前随机敲击键盘,如果不限定时间,那么它们总有一天会打出一部《莎士比亚全集》。简单地说,在无限的时间面前,当按键次数达到无穷时,猴子也几乎必然能够打出任何给定的文字。这些猴子可以打出英文的文章,但是打不出李白的诗,因为用了英文键盘,只有英文字母。

  从猴子试验,我们引申一下,引入三等分角问题。用尺规做图法三等分角问题是公元前五世纪由古希腊人提出来的难题。尺规作图可类比为一种语言,能够被语言描述出来,等同于能被尺规做图画出来。假设有无数只猴子拿着尺子和圆规在图纸上按尺规做图规则一通乱画,能不能实现三等分角问题该命题已经被数学家伽罗瓦用《近世代数》和《群论》证明是不可能的

  再简单介绍一下哥德尔不完备定理。哥德尔不完备定理想说明一件事情:“逻辑系统的能力是有限的,有一些为真的东西无法表达出来”。数学是一套逻辑体系,其实也是一套语言系统。这套语言系统不是全能的,而是有很多事实无法被描述。通过这套逻辑体系,去证明某个定理。能证明出来为真,代表能描述;如果为假,就无法描述。不过还有一部分,即使为真,也无法描述。

  以上内容想说明——这个世界很大,数学语言的能力很小。假设存在一个集合,“函数”的集合。能够用公式来表示的“函数”属于子集,肯定小之又小。而绝大多数的函数,根本是写不出公式来的。同样,能够被ε- δ语言约束的函数也是非常少,绝大多数不能被约束。能够被ε- δ语言约束的函数也能够形成一个集合,而其中能够写出公式来的,也是非常少。

  虽然有大量函数被研究,但更多的函数没有被研究。在世界上,不符合“ε- δ语言”的函数很多,所以也就没有必要讨论“ε- δ语言”本身是否合理,只是把它作为一个条件。由于很多函数能够用“ε- δ语言”描述,获得了某些特性,处理起来方便。这是做事的一种方法——通过增加条件和限制,获得问题的简化,从而解决一些表面上很难的问题。

  我们不去讨论ε- δ语言多么合理,或者多么不合理。而是说,满足ε- δ语言就可以怎么做;不满足,则打入另册。

  ε- δ语言到底说了什么?假如能够说清楚,对理解微积分自然很有好处。现在,总体的感觉是把规则用活。比如说围棋、象棋之类的,在规则条件下,灵活应用。很多时候,我们不是学多少东西,而是把学到的东西搞懂搞透彻,而这往往需要更多的悟性。

 



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1 彭真明

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