发信人: littless (littless), 信区: Science
标  题: some tales of mathematic!ans(244)
发信站: 水木社区 (Tue Aug  5 14:05:16 2008), 站内

Hilbert在1900年提出的著名的23个问题中最简单的是第三个
问题，即为了避免在割补过程中使用阿基米德公理，是否可以
把两个等底面积等高的四面体分别分割成有限个四面体，使这
两组四面体分别对应全等？这个问题第二年就被德国数学家Dehn
所解决,Dehn构造了两个等底面积等高的四面体，它们不可能
分割成要求的小四面体，但是这个问题在平面上却有不同的情
况：任何两个面积相等的多边形可以分别分割成两组有限个三
角形使他们对应全等

还有一个有趣的类似问题，可以证明一个矩形可以用无穷多种
方式分割成有限个不相等的正方形的充要条件是这个矩形的两
边长度之比是一个有理数，但是对于长方体不存在一种方式使
它可以分割成有限个不相等的正方体，证明十分简单：假设长
方体可以分割成有限个立方体，则在长方体的一个面上，这个
矩形被分割成有限个正方形，取其中最小的那个，容易看出最
小的正方形不能靠边只能在矩形的内部，因为这个正方体被四
周的正方体包围，所以最小正方体的顶面必须又产生一个分割，
仍然取分割中最小的正方形，重复这个过程，永远不能终止，
这与正方体的有限性矛盾

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