波函数坍缩是以作为片面的经验的测量

来测度真相的必然结局

美国归侨冯向军博士，2017年8月26日写于美丽家乡

【摘要】叠加原理是量子力学中的一个基本原理，它说明了波函数的性质。如果ψ1是体系的一个本征态，对应的本征值为A1，ψ2是体系的另一个本征态，对应的本征值为A2，那么根据薛定鄂方程的线性性，叠加态ψ = C1ψ1 + C2ψ2也是体系一个可能的存在状态。但是在一次测量结果中，体系可能的存在状态ψ却只可能取ψ1态或ψ2态而不可能同时既是ψ1态又是ψ2态，而且系统取ψ1态的概率是|C1|2而取ψ2态的概率是|C2|2。如果在这个状态ψ下对可观察量A进行测量，测量到的A值也要么是A1要么是A2，测得A1和A2 的概率之比为 |C1|2/ |C2|2。这就是所谓的量子态坍缩或波函数坍缩。

定理1：假如体系可能存在的叠加状态ψ以确定性概率分布同时拥有ψ1态和ψ2态两种成份，而作为片面的经验的测量却只允许ψ在一次测量中要么取ψ1态要么取ψ2态，就必有：在一次测量结果中，体系可能的存在状态ψ以最大发生概率要么取ψ1态，要么取ψ2态。

证明：假设A=一次测量的结果是ψ1态而非A=一次测量的结果是ψ2态。A=(1,0)而非A=（0，1）。A与非A是代表两个相互对立的广义方向的单位向量。那么，不失一般性，总有一次测量ψ的取值的结局R = p1A + p2非A。这其中p1和p2是科尔莫哥洛夫概率分布。 对于一次测量结果R，同时存在自然约束条件、自洽约束条件和非自然约束条件。

p1 + p2 = 1    (1-1) (自然约束条件）

pi - fi = 0，i = 1或2    (1-2) (自洽约束条件）

pi - 1 = 0，i = 1或2    (1-3) (测量所强加的非自然约束条件）

因为目标函数为发生概率的对数log(P)，可构造拉格朗日算子L

L = log(p1) + log(p2) +

+ C1(p1 + p2 -1) +

+ C2(pi - fi) +

+ C3(pi - 1)

对拉格朗日算子L求关于p1和p2以及C1，C2和C3的一阶偏导数并令之为0，就有：

1/pi + C1 + C2 + C3 = 0 ，i = 1或2   (1-4)

1/pj + C1 + C2 = 0，j = 2或1    (1-5）

p1 + p2  - 1 = 0    (1-6)

pi - fi = 0，i = 1或2    （1-7）

pi -1 = 0，i = 1或2    （1-8）

就有：

pi = fi = 1，i = 1或2 ；

pj = fj = 0，j = 2或1。

或

ψ的取值的结局R是要么取ψ1态，要么取ψ2态。

但是拉格朗日算子的二阶偏导数矩阵是一主对角线上元素恒负而其余元素全为零的负定矩阵，因此上述令拉格朗日算子L一阶偏导数为零的概率分布

pi = fi = 1，i = 1，2；

pj = fj = 0，j = 2，1。

必定也是令约束条件下的发生概率的对数取最大值的分布。这种分布符合最大发生概率原理。换句话说： 假如体系可能存在的叠加状态ψ以确定性概率分布同时拥有ψ1态和ψ2态两种成份，而作为片面的经验的测量却只允许ψ在一次测量中要么取ψ1态要么取ψ2态，就必有：在一次测量结果中，体系可能的存在状态ψ以最大发生概率要么取ψ1态，要么取ψ2态。

证毕。    

引理：（伯努利大数定律）设fn为n重伯努利试验中事件A发生的次数，p为A在每次试验中发生的概率，则对任意给定的实数ε>0，有图片中的数学公式成立，即n趋向于无穷大时，事件A在n重伯努利试验中发生的频率fn/n无限接近于事件A在一次试验中发生的概率p。

定理2：假如体系可能存在的叠加状态ψ以确定性概率分布|C1|2和|C2|2同时拥有ψ1态和ψ2态两种成份，而作为片面的经验的测量却只允许ψ在一次测量要么以概率|C1|2取ψ1态要么以概率|C2|2取ψ2态，就必有经过n次重复测量且n趋向于无穷大时，测得ψ取ψ1态的频率无限逼近|C1|2 而ψ取ψ2态的频率无限逼近|C2|2。

证明：由引理中所示的伯努利大数定律，定理2得证。  

【附录】

经验两类分：共时性的全面经验和历时性的片面经验

美国归侨冯向军博士，2017年8月26日写于美丽家乡

 一眼望去，你看到桌子上有一个萍果和两只香蕉。这就是一种简单的共时性的全面经验。从其本质上来看，这种简单的共时性的全面经验甚至可以堪称：“神目如电”。通过这一简单的共时性的全面经验，你就知道了：

（一）桌子上的水果的真相是决定性的或确定性的具有一定复杂程度的复杂整体：同时具有1/3的萍果和2/3的香蕉两种成份的复杂整体。

（二）概率分布就是对水果的真相：具有一定复杂程度的复杂整体的复杂程度之共时性测度。

 但是对桌子上的水果的随机试验或随机抽样却是一种片面的历时性经验：

（1）每次在桌子上抽取一个水果这种一次随机试验或随机抽样的结果必然是不确定的。这种一次随机试验或随机抽样的结果不确定的必然性恰好证明一次随机试验或随机抽样这种经验的先天不足。这种先天不足就是不能全面测度桌子上的水果的真相：决定性的或确定性的具有一定复杂程度的复杂整体。

（2）大量历时的随机试验或随机抽样又必然具有统计确定性：抽得萍果的频率的极限为1/3而抽得香蕉的频率的极限为2/3。这种统计确定性也恰好体现事情的真相：桌子上的水果的确定性的复杂程度。

 如此看来所谓随机试验或随机抽样是一种片面的历时的经验。每一次随机试验或随机抽样都不能全面地测度事情的真相而大量历时的随机试验或随机抽样却能无限逼近事情的真相。