平衡态的一般化系统约束条件

美国归侨冯向军博士，2017年8月23日

（本文已初步完成）

（一）平衡态的一般化系统约束条件  

在先前的篇章中，我们强调了平衡态的概率分布pi = f(xi)所普遍承受的三种约束条件：自然约束条件、自洽约束条件和系统约束条件。这三种约束条件的数学表达式如下所示。

p1 + p2 + p3 +...+ pn = 1    （1-1）（自然约束条件)

p1/f(x1) + p2/f(x2) + ... + pn/f(xn) = n    (1-2)(自洽约束条件）

p1x1 + p2x2 + ... + pnxn = 常量    (1-3) （系统约束条件）

这其中自然约束条件和自洽约束条件的形式相对不变。

 但是现在看来，系统约束条件的形式不仅可以变化而且可以多样化。这是因为，在平衡态，变量、概率以及整体与部分的所有关系都是确定不变的缘故。因此我们有如下平衡态的一般化系统约束条件:

p1fp(x1) + p2fp(x2) + ... + pnfp(xn) = 常量    (1-4)

这其中fp(xi)是关于xi的某一符合实际和需要的函数,

i = 1，2，...,n。

 上述平衡态的一般化系统约束条件将极大地扩展最大发生概率原理以及发生概率和广义熵同时最大原理的实用范围。本文将用平衡态一般化系统约束条件来推导正态分布、对数正态分布等概率分布并重新推导幂律。

（二）用最大发生概率原理推导正态分布

 在平衡态，固然变量的算术统计平均值可视为不变。但是任意的由确定的概率分布和与之相对应的确定的一组变量值所决定的函数fp(x)，其统计平均值又何尝不可视为不变呢？一旦认可在平衡态任意函数fp(x)的统计平均值均可视为不变，那么发生概率本身也就变成了一种功能强大的决定系统状态和分布的广义熵，而最大发生概率原理本身就是一种功能强大的发生概率广义熵同时最大原理，可用来推导种种常见分布。

 对于平衡态的正态分布pi=f(xi)=aexp(-b(x-m)²),这其中a、b、m均为常量，同时存在如下所示的三种约束条件：

p1 + p2 +...+ pn = 1    (自然约束条件）

p1/aexp(+b(x1-m)²) + p2/aexp(+b(x2-m)²) +...+

+ pn/aexp(+b(x1-m)²) = n (自洽约束条件）

p1/aexp(+b(x1-m)²) + p2/aexp(+b(x2-m)²) +...+

+ pn/aexp(+b(x1-m)²) = n

(同了自洽约束条件的一般化系统约束条件）

自洽约束条件和同了自洽约束条件的一般化系统约束条件可统一表达为：p1/f(x1) + p2/f(x2) + ... + pn/f(xn) = n

于是最大发生概率原理所对应的拉格朗日算子为：

L = log(p1) + log(p2) + ... + log(pn)+

+ C1(p1 + p2 +... + pn - 1) +

+ C4(p1/f(x1) + p2/f(x2) + ...+ pn/f(xn) - n)

对拉格朗日算子L求一阶偏导数dL/dpi并令之为零，就有：

dL/dpi = 1/pi  + C1  + C4/f(xi) = 0

当 C4 = -1,C1 = 0 ,有：

pi = f(xi) = a*exp(-b(xi-m)²), i = 1，2，...,n （1-5）

这就是正态分布。

 但是拉格朗日算子L的二阶偏导数矩阵为一主对角线上元素恒负而其余元素全为零的负定对称矩阵。因此，令拉格朗日算子L一阶偏导数为零的上述服从式(1-5)的正态分布pi也必定是令拉格朗日算子L或约束条件下的目标函数发生概率的对数log(P)取得最大值或极大值的概率分布。这种正态分布pi符合发生概率最大原理。

（三）用最大发生概率原理推导对数正态分布

   对于平衡态的对数正态分布pi=f(xi)=a/xi*exp(-b(x*log(xi)-m)²),这其中a、b、m均为常量，同时存在如下所示的三种约束条件：

p1 + p2 +...+ pn = 1    (自然约束条件）

p1*x/aexp(+b(log(x1)-m)²) + p2*x2/aexp(+b(log(x2)-m)²) +...+

+ pn*xn/aexp(+b(log(x1)-m)²) = n (自洽约束条件）

p1*x/aexp(+b(log(x1)-m)²) + p2*x2/aexp(+b(log(x2)-m)²) +...+

+ pn*xn/aexp(+b(log(x1)-m)²) = n

(同了自洽约束条件的一般化系统约束条件）

自洽约束条件和同了自洽约束条件的一般化系统约束条件可统一表达为：p1/f(x1) + p2/f(x2) + ... + pn/f(xn) = n

于是最大发生概率原理所对应的拉格朗日算子为：

L = log(p1) + log(p2) + ... + log(pn)+

+ C1(p1 + p2 +... + pn - 1) +

+ C4(p1/f(x1) + p2/f(x2) + ...+ pn/f(xn) - n)

对拉格朗日算子L求一阶偏导数dL/dpi并令之为零，就有：

dL/dpi = 1/pi  + C1  + C4/f(xi) = 0

当 C4 = -1,C1 = 0 ,有：

pi = f(xi) = a/xi*exp(-b(log(xi)-m)²), i = 1，2，...,n （1-6）

这就是对数正态分布。

 但是拉格朗日算子L的二阶偏导数矩阵为一主对角线上元素恒负而其余元素全为零的负定对称矩阵。因此，令拉格朗日算子L一阶偏导数为零的上述服从式(1-6)的对数正态分布pi也必定是令拉格朗日算子L或约束条件下的目标函数发生概率的对数log(P)取得最大值或极大值的概率分布。这种对数正态分布pi符合发生概率最大原理。

（四）用最大发生概率原理重新推导幂律分布

   对于平衡态的幂律分布pi=f(xi)=axi^-b,这其中a、b均为常量，同时存在如下所示的三种约束条件：

p1 + p2 +...+ pn = 1    (自然约束条件）

p1/ax1^+b + p2/ax2^+b +...+  pn/axn^+b = n (自洽约束条件）

p1/ax1^+b + p2/ax2^+b +...+  pn/axn^+b = n (自洽约束条件）

(同了自洽约束条件的一般化系统约束条件）

自洽约束条件和同了自洽约束条件的一般化系统约束条件可统一表达为：p1/f(x1) + p2/f(x2) + ... + pn/f(xn) = n

于是最大发生概率原理所对应的拉格朗日算子为：

L = log(p1) + log(p2) + ... + log(pn)+

+ C1(p1 + p2 +... + pn - 1) +

+ C4(p1/f(x1) + p2/f(x2) + ...+ pn/f(xn) - n)

对拉格朗日算子L求一阶偏导数dL/dpi并令之为零，就有：

dL/dpi = 1/pi  + C1  + C4/f(xi) = 0

当 C4 = -1,C1 = 0 ,有：

pi = f(xi) = axi^-b, i = 1，2，...,n （1-7）

这就是对数正态分布。

 但是拉格朗日算子L的二阶偏导数矩阵为一主对角线上元素恒负而其余元素全为零的负定对称矩阵。因此，令拉格朗日算子L一阶偏导数为零的上述服从式(1-7)的幂律分布pi也必定是令拉格朗日算子L或约束条件下的目标函数发生概率的对数log(P)取得最大值或极大值的概率分布。这种幂律分布pi符合发生概率最大原理。