n元生克分布联系数的数学表达式及满足特定分布的概率分布设计

美国归侨冯向军博士，2017年6月27日写于美丽家乡

 【摘要】【1】文中，我提出了广义联系数的新概念以及作为广义联系数的关于若干各种常见概率分布的二元生克分布联系数的数学表达式及相关定理。本文将提出作为广义联系数的n元生克分布联系数的数学表达式和基于n元生克分布联系数的满足特定分布的概率分布的设计。

（一）关于若干常见分布的n元生克分布联系数的数学表达式

（a)n元生克负指数分布联系数

 关于概率分布p1，p2，...，pn及其变量值x1,x2,...xn的n元生克负指数分布联系数的数学表达式为：

（p1x1 + i*p2x2 +...+ i*pnxn)/x1,(i = +1)。这其中x1 > x2 >...> xn > 0。

（b)n元生克幂律分布联系数

 关于概率分布p1，p2，...，pn及其变量值x1,x2,...xn的n元生克幂律分布联系数的数学表达式为：

（p1log(x1) + i*p2log(x2) +...+ i*pnlog(xn))/log(x1),(i = +1)。这其中

log(x1 ) > log(x2) > ... > log(xn) > 0。

（c)n元生克正态分布联系数

 关于概率分布p1，p2，...，pn及其变量值x1,x2,...xn的n元生克正态分布联系数的数学表达式为 （p1（x1-m)^2 + i*p2（x1-m)^2 +...+ i*pn（x1-m)^2) / (x1 - m)^2,(i = +1)。这其中,m为x1,x2,...xn的样本均值，(x1-m)^2 > (x2-m)^2 >...> (xn-m)^2 > 0。

 (二）基于n元生克分布联系数的满足特定分布的概率分布的设计

 在现实世界中，大量存在需要设计满足特定分布的概率分布的实例。如工程招标中对标书的评估系统中的指标权重设计，各种利益团体或个人之间的利益分配比例设计，对各类从政从业人员考核中的考核指标权重设计，等等等等。本文提出基于n元生克分布联系数的满足特定分布的概率分布的设计，并对基于n元负指数联系数满足负指数分布的概率分布的设计作出详细说明。

【以负指数分布作为详细例子】

 关于概率分布p1，p2，...，pn及其变量值x1,x2,...xn的n元生克负指数分布联系数的数学表达式为：

（p1x1 + i*p2x2 +...+ i*pnxn)/x1,(i = +1)。这其中x1 > x2 >...> xn > 0。

 命：psk1 = （p1x1 + p2x2 +...+ pnxn)/x1,这其中x1 > x2 >...> xn > 0。psk2 = 1 - psk1

则psk1，psk2构成基于n元负指数分布联系数的柯尔莫哥洛夫概率分布。要使柯尔莫哥洛夫概率分布psk1，psk2的信息熵最大，必有：

psk1 = （p1x1 + p2x2 +...+ pnxn)/x1 = 0.5，于是有：

(p1x1 + p2x2 +...+ pnxn)/x1 = 0.5

p1 + p2 +...+pn = 1

但是我们已经反复证明【1】只要负指数分布联系数(p1x1 + p2x2 +...+ pnxn)/x1为常数，就有概率分布p1，p2，...，pn服从负指数分布。有：

p1 = aexp(-bx1)

p2 = aexp(-bx2)

...

pn = aexp(-bxn)

这其中，常数b > 0。因为：

p1 + p2 +...+ pn = 1

所以：

a = 1 /(exp(-bx1) + exp(-bx2)+ ... + exp(-bxn))

于是：

p1 = aexp(-bx1)

p2 = aexp(-bx2)

...

pn = aexp(-bxn)

对于任意给定的变量值x1,x2,...xn和你给定的设计常数b，负指数概率分布是100%确定的。下表给出了改变变量值x1,x2,x3,x4 和设计常数b所设计出的多种满足负指数分布的概率分布。

下表说明，通过调节变量x的值和设计常数b的值，确实可以让n元（例中n=4）生克负指数分布联系数达到0.5，此时基于n元负指数分布联系数的柯尔莫哥洛夫概率分布的信息熵达到最大。

参考文献

【1】冯向军，二元生克分布联系数：决定广义系统分布的广义联系数，科学网，2017年6月25日。http://blog.sciencenet.cn/blog-1968-1062899.html