16.3 光速不变性的约束条件

一、从特征元开始 

我们对于客观世界的认识，是从一个点开始、再升级到局部、然后进化至更广阔空间。

然而事实上，直到今天我们依然无法识别宇宙的全貌，甚至对于全域一致性的量子纠缠也知其然不知其所以然。不但如今，甚而永远，遗憾的是我们都可能看不到整体自然的模样，而只能盲人摸象般感知其某个特殊局部的特征。

数学而言，我们总是从一个特征元X开始的：

AX=cX，其中A为被观察对象，X为特征元、c为特征值。

二、特征元加法

1、n维线性空间

①二元一次方程

Y=kX，是Y对X的正比函数，其中X是自变量、k是常数、Y是因变量。

Y=kX+b，是上述正比函数在Y轴平移b的直线方程。

aX+bY=c，是直线方程的另一种写法，这里a、b、c是常数，X、Y是变量。

另一方面，如果方程 aX+bY=c 的X、Y是不变，a、b、c是变动，则得到一个方程组系列：

 适当调整a、b、c参数，可以使得上述直线方程组交于一个点。

即，aX+bY=c，既可看作X、Y点轨迹变化形成的直线，也可对偶看作a、b角度旋转交汇的点。

②三元一次方程

aX+bY+cZ=d，通常看作一个平面。

两个平面可以交汇成线，三个平面有时可交汇为点。

③n元1次方程组

a1X1+a2X2+......+anXn=b，是n元1次方程，其中ai是Xi的权重系数。

这样的方程可能有k个，得到方程组：

如果我们把X、X2......Xn看成线性无关的n个特征元，上面的方程就是的n个特征元的加法。

方程组构成了以n个特征元X、X2......Xn为基矢量的n维度线性空间。

三、特征元乘法

特征元既然有加法，当然也有乘法。比如，一个旋转向量可以看作是无穷个平移向量的复合乘积。

1、m维n阶张量

①缩并

上图就是a1X1+a2X2+......+anXn=c，这是初中生都熟悉的n元1次方程。

进一步看，如果把X1、X2......Xn看成是特征元，a1、a2......an看成是特征值，得到一个观测值标量c 

更深一层看，如果把X1、X2......Xn看成是特征元，把a1、a2......an也看成特征元，上述算式其实是Xi和ai的内积。

为方便描述，本文把m个独立特征元相加称为‘m维’、把n个独立特征元相乘称为‘n阶’。

内积实质是二阶特征元aX的缩并。内积把二阶特征缩并为0阶特征。

②二阶特征

aX+bY=c，如果a、b是标量，这是初中生都熟悉的直线方程。

深入一个层次看，如果X、Y是特征元，把a、b也看成特征元，则上述算式表达二阶流形。

更一般的，如果x1、x2......xn是特征元，y1、y2......yn也是特征元，下图表示二阶特征元构成的n维二阶流形。

通常而言，的二阶特征并不发生缩并，仍然是二阶特征意义。比如，桌子特征元乘以椅子特征元不会缩并，保持二阶特征属性。

③n阶特征

既然现实世界特征属性的刻划，需要特征元既有加法又有乘法，那么∏∑Xn 或者∑∏Xn表达，即m维n阶张量是特征元复合体的标准形式。

更深一步，如果m或n个特征元扩展为连续无穷ℵ阿列夫个，则更复杂而普遍。

2、n阶空间特殊约束条件

举个有点意思的例子。惯常教课书说“光速恒定不变”是放之四海而皆准的真理，因为它是麦克斯韦方程组严密证明的。

是吗？

我们简要回顾证明过程，会发现证明的关键步骤在于下列等式：

这个等式的源于麦克斯韦方程：

那么，我们司空见惯的这个方程又有什么特别的吗？

请注意，上面等式的左边是二阶特征，而右边是一阶特征的。

通常，二阶特征不可能等同于一阶特征，二阶特征元和 一阶特征元 x 是两种不同层次属性的逻辑概念，绝不能简单划等号。请参阅：

说到此，细心读者难免提出质疑，既然上文中提到二阶对偶特征元‘内积’可缩并到0阶特征，凭什么从二阶特征缩并到一阶就行不通呢？

事实上，二阶特征元缩并为一阶特征元在某种约束条件下是允许的。比如，角动量=矢径×动量，即两个矢量叉乘得到第三个矢量物理量。

麦克斯韦那个旋量关键方程不就是▽算子叉乘吗？

关于叉乘特别注意，这里有个隐含的约束条件：相关物理量处于空间。

究其根本，是由于l形式空间有公式：

因而三维欧氏切空间对应的流形有 2阶 =（3-2）阶，可得：

空间的两个矢量叉乘缩并得到第三个矢量，即在三阶空间中的二阶特征属性体等同于一阶特征属性体。

虽然我们看不到ℵ阿列夫阶ℵ阿列夫维客观世界特征全貌，但我们可以通过缩并态测量特殊点特征元的特征值。虽然旋转向量是ℵ阿列夫个平移向量的复合乘积，但在复空间中只有i、i平方、i三次方、i四次方这4个独立特征元，所以旋量中有特殊点特征元。

有可能三维欧氏空间对于光速不变性只是充分条件，并不一定是必要条件。哪怕连续光滑黎曼流形存在ℵ阿列夫个群生成元，也不妨碍流形切空间局域满足欧式空间叉乘缩并规律。