在学习机器学习和图像处理的过程中，经常会遇到卷积这个概念。我每次遇到这个概念都有点似懂非懂的样子。有时候清楚它的直观解释，但又搞不清公式中是如何体现的。究其原因，还是我没有完全搞懂这个概念。 维基百科上有一个动态图来演示这个概念，但对于我来说还是有些复杂。于是自己在网上找了很多文章来研究，终于有了比较直观的印象，这里就趁热把我理解的解释一下，作为总结。

一、一维卷积

1.1 数学定义

维基百科上，卷积的形式化定义如下：

f(x)∗g(x)=∫∞−∞f(τ)g(x−τ)dτ(1)(1)f(x)∗g(x)=∫−∞∞f(τ)g(x−τ)dτ

1.2 直观解释

先来分析一下这个公式：

1. f(x)∗g(x)f(x)∗g(x) 表示 f(x)f(x) 和 g(x)g(x) 的卷积，注意此处自变量为 xx；

2. 它是对 (−∞,∞)(−∞,∞) 区间上对 ττ 求积分；

3. 积分对象为两个函数的乘积：f(τ)f(τ) 和 g(x−τ)g(x−τ)。

4. 等式右边只有 g(x−τ)g(x−τ) 提到了 xx，其他部分都在关注 ττ

这样一个公式恐怕还是难以理解，接下来将通过一个例子来进行解释。

1.3 例子

试想小明有一段时间每天都要去输液，输的药会在身体里残留直至失效，药效随着时间是不断衰落的。 这里为简便起见，假设药效 4 天就失效，而且药效持续函数是离散的。如下图所示：

图中，横坐标为天数，纵坐标为药效。输液当天（day=0）药效为 100%，第二天减弱为 80%，第三天减弱为 40%，第四天减弱为 0。

现在先定义一些符号：
记天数为 tt，每天输液的药量为 m(t)m⁡(t), 药效函数为 eff(t)eff⁡(t)，小明身上残留的药效为 rest(t)rest⁡(t)
其中药效函数：

eff(t)=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪100%80%40%0%t=0t=1t=2t>=3eff⁡(t)={100%t=080%t=140%t=20%t>=3

下面观察一下小明从第一天起，连续三天输液后身上所留下的药效（假设每天药量固定为10）。

• 第一天，小明去医院输完液后，药效为 10（rest(t)=m(t)⋅eff(0)rest⁡(t)=m⁡(t)⋅eff⁡(0)）。

• 第二天，小明去医院准备输液

• 输液前，他身上带着前一天的药效，此时已经衰减为 10⋅⋅ 80%=8，即 m(t−1)⋅eff(1)m⁡(t−1)⋅eff⁡(1)。

• 输液后，他身上携带的药效为：8 + 10 = 18（rest(t)=m(t−1)⋅eff(1)+m(t)⋅eff(0)rest⁡(t)=m⁡(t−1)⋅eff⁡(1)+m⁡(t)⋅eff⁡(0)）

• 第三天，小明去医院准备输液

• 输液前，他身上带着前两天的药效，第一天的此时已衰减为 10⋅⋅ 40%=4（m(t−2)⋅eff(2)m⁡(t−2)⋅eff⁡(2)），第二天的此时衰减为 10⋅⋅ 80%=8（m(t−1)⋅eff(1)m⁡(t−1)⋅eff⁡(1)）。

• 输液后，他身上携带的药效为：4 + 8 + 10 = 22（rest(t)=m(t−2)⋅eff(2)+m(t−1)⋅eff(1)+m(t)⋅eff(0)rest⁡(t)=m⁡(t−2)⋅eff⁡(2)+m⁡(t−1)⋅eff⁡(1)+m⁡(t)⋅eff⁡(0)）。

1.4 分析

从上面的分析我们可以得到，小明第 t 天身上残留的药效 rest(t)=∑ni=1m(t−i)eff(i)rest⁡(t)=∑i=1nm⁡(t−i)eff⁡(i)，其中 nn 为药效有效的最大天数。 我们不难想象，但药效函数 eff(t)eff⁡(t) 为连续时，上式中的求和就应改为积分；而当药效能无限期有效时，上式中 nn 就为 ∞∞。 无限期有效的药效函数，所对应的 rest(t)=∫∞−∞m(t−τ)eff(τ)dτrest⁡(t)=∫−∞∞m⁡(t−τ)eff⁡(τ)dτ（本例中严格来说应该是 ∫∞0∫0∞ ，这里推广到了 (−∞,∞)(−∞,∞)）。推导到这里，基本就是维基百科上卷积的定义了。

1.5 总结

我之前对卷积概念的困惑主要是因为对公式 11 的那个 ττ 的意义理解错了，总以为 ττ 是随着坐标轴变化的量。 事实上，在上面举的例子中，ττ 是作为沿着纵坐标遍历的量：它的作用是对“纵向”上，历次函数 eff(t)eff⁡(t) 在当前点(tt)残余量(rest(t)rest⁡(t))的求和。积分也是对纵向上的积分，而非横向上沿自变量的积分。

横坐标变化的量始终为 tt，而且在卷积中并没有明显体现出 tt 的变化。

最后重新回顾一下上面的整个过程：比较三天以来的示意图可以发现，如果我们以“当天”而不是第 tt 天为参考的话，就会看到 eff(t)eff⁡(t) 随着时间是在向左平移（深蓝的线表示当天，前几天的线都在其左边），然后各天衰落后的药量残余等于 eff(t)eff⁡(t) 值乘上初始的药量值，最后将各天的药量残余求个和。整个过程的核心就是“（反转），移动，乘积，求和”，这里面“反转”的概念也好理解，就是本来 eff(t)eff⁡(t) 是“朝着右边”走的函数，t=0,t=1,⋯t=0,t=1,⋯，eff(t)eff⁡(t) 是形容t 天后的药量的，然而实际例子中我们是以当天为参考系，我们是在“朝着左边”看的，因而要“反转”。我认为这个“反转”是一个很自然的过程，不算是整个卷积的核心。 此外，在计算机领域，至少我接触到的图像处理、机器学习方面用到的卷积，其卷积核（就是例子中不断平移的函数 eff(t)eff⁡(t)）一般是对称的，所以这个反转的概念也不是那么必要。

二、二维卷积

2.1 数学定义

f(x,y)∗g(x,y)=∫∞τ1=−∞∫∞τ2=−∞f(τ1,τ2)⋅g(x−τ1,y−τ2)dτ1dτ2(2)(2)f(x,y)∗g(x,y)=∫τ1=−∞∞∫τ2=−∞∞f(τ1,τ2)⋅g(x−τ1,y−τ2)dτ1dτ2

二维卷积在图像处理中会经常遇到，图像处理中用到的大多是二维卷积的离散形式：

f[x,y]∗g[x,y]=∑n1=−∞∞∑n2=−∞∞f[n1,n2]⋅g[x−n1,y−n2](3)(3)f[x,y]∗g[x,y]=∑n1=−∞∞∑n2=−∞∞f[n1,n2]⋅g[x−n1,y−n2]

2.2 图像处理中的二维卷积

二维卷积就是一维卷积的扩展，原理差不多。核心还是（反转），移动，乘积，求和。这里二维的反转就是将卷积核沿反对角线翻转，比如：

⎡⎣⎢adgbehcfi⎤⎦⎥翻转为⎡⎣⎢ifchebgda⎤⎦⎥[abcdefghi]翻转为[ihgfedcba]

之后，卷积核在二维平面上平移，并且卷积核的每个元素与被卷积图像对应位置相乘，再求和。通过卷积核的不断移动，我们就有了一个新的图像，这个图像完全由卷积核在各个位置时的乘积求和的结果组成。

举一个最简单的均值滤波的例子：

这是一个 3x3 的均值滤波核，也就是卷积核：⎡⎣⎢1/91/91/91/91/91/91/91/91/9⎤⎦⎥这是被卷积图像，这里简化为一个二维 5x5 矩阵：⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢3456734567345673456734567⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥这是一个 3x3 的均值滤波核，也就是卷积核：[1/91/91/91/91/91/91/91/91/9]这是被卷积图像，这里简化为一个二维 5x5 矩阵：[3333344444555556666677777]

当卷积核运动到图像右下角处（卷积中心和图像对应图像第 4 行第 4 列）时，它和图像卷积的结果如下图所示：

可以看出，二维卷积在图像中的效果就是：对图像的每个像素的邻域（邻域大小就是核的大小）加权求和得到该像素点的输出值。滤波器核在这里是作为一个“权重表”来使用的。

参考资料：

1. 中文维基百科/卷积

2. 斯坦福大学CS178课程资料（有一个卷积的在线Applet演示）

3. Understanding Convolution（用图和例子从一维卷积一直讲到了CNN）

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• 本文作者： Mengqi

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