|
2023年,国际复杂系统研究领域的学者们发起了一个新的议题《热力学2.0》[1],其目的是希望找到一个广义的热力学理论体系,它不仅可以描述物理系统也可以描述有生命的社会系统。具体可见英国皇家学会期刊Philosophical Transactions A的特刊专题[1]:Thermodynamics 2.0: Bridging the natural and social sciences
复杂系统同行们的这个议题恰好与我自己的兴趣相符,因为我的研究兴趣之一就是希望发展一个广义的热力学体系[2-13],从而可以描述社会系统,经过十多年的努力,随着我的收官之作[14]在Journal of Physics: Complexity发表,我最终完成了这个研究的基本理论框架。
我的基本研究思路是推广玻尔兹曼统计物理框架,这个推广必须是自然的,并且可以将玻尔兹曼的理论框架作为它的特例。
为了做到这一点,我们必须从更加一般的数学视角来研究玻尔兹曼的理论,对此,我首先放弃了“配分函数”的观念。收官论文[14]详细介绍了我的基本思想,下面我简单介绍一下论文[14]中所总结的方法。
玻尔兹曼理论的出发点是指数函数分布,这也被称为“玻尔兹曼分布”。
下面我不再区分“粒子”和“人”,统一将其称作“个体”。其中,粒子携带“能量”,人则携带“收入”。
假如个体(粒子或者人)的分布函数(能量或者收入)服从指数函数分布:
其中 epsilon_j代表能级水平或者收入水平,a_j 代表epsilon_j 水平上的个体(粒子或者人)数量。
对于经济系统的收入分布为什么服从指数函数分布,可见我与合作者的实证研究,比如[7]。
如此一来,个体的总数N和总能量(或者总收入GDP)Y的表达式为
从方程(1)得到方程(2)大家都很容易理解,统计物理学家则是利用方程(2)得到了Y 和N的微分方程,为了得到这个方程,他们使用了“配分函数”的技巧。
我的不同之处则是直接使用数学分析技巧找到Y 和N所满足的微分方程:
方程(3)中出现了一个新的变量,我们记为
在统计物理教材上,方程(4)是用配分函数的形式来表达的,它被称作“熵”,但是由于“配分函数”的使用,玻尔兹曼理论框架下的熵表达式不是广延的,并且其数学形式与我得到的方程(4)有些不同。
2023年的时候,湖南大学的刘全慧教授在他的博客中贴出一篇文章《2023年度最佳问题:一种不直接使用配分函数的玻尔兹曼统计理论》,他与自己的学生在2023年也发现了方程(4)的熵表达式。当然,刘老师的方法本质上还是基于统计物理方法,他们并没有探讨其中的数学结构。
那么,我的工作的核心点在哪里呢?
就在于如果方程(3)代表了Y的全微分,其中N和T是两个独立变量,那么一定存在下面的等式
了解全微分的读者朋友,仔细看看方程(3)是不是这么回事?
是的,方程(5)就是方程(3)为 Y 的全微分表达式的数学闭环。没有方程(5),直接说方程(3)是全微分在数学上是不严谨的。
好了,接下来我要干什么呢?将方程(5)代入方程(4)消去alpha和beta,从而得到一个独特的偏微分方程:
偏微分方程(6)描述了比玻尔兹曼理论更加广义的数学结构,它由指数函数分布所导致。换句话说,只要研究对象的分布服从指数函数的形式,那么它就同样满足偏微分方程(6)。不管研究对象是“原子”也好,还是“人”也好,都一样,只要这个研究对象的分布服从指数函数。
那么如何能够知道玻尔兹曼理论是偏微分方程(6)所描述的特殊情况呢?
为了意识到这一点,我们只需要知道偏微分方程(6)有许多的解,各个解依赖于不同的边界条件。
玻尔兹曼的理论本质上只是在研究偏微分方程(6)的其中一个解:
读者朋友很容易验证方程(7)是方程(6)的解,其中b_0代表常数。
为了看到方程(7)的本来面目,不妨把它写为微分形式:
对于熟悉热力学的读者朋友而言,这下是不是很好辨认了?
Y是内能,b_0是温度,N是粒子数,S=T+NlnN就是克劳修斯熵,反过来T=S-NlnN就是带有吉布斯项NlnN=lnN!的广延熵。
换句话说,偏微分方程(6)的其中一个解给出了热力学第二定律的数学表达形式,并且其熵自然是广延的。
但是方程(7)毕竟只是偏微分方程(6)的其中一个解,方程(6)还有其他的解。下面我写出偏微分方程(6)的另外一个解:
其中a_0和gamma都代表常数。
容易验证方程(9)也是偏微分方程(6)的解,只不过这个解现在被我用来描述经济系统[14],其中Y代表GDP(总收入)、N代表人口总数、T代表社会的信息存量。
方程(9)作为偏微分方程(6)的解的独特之处在于它可以保证下面的偏导数存在解(对任意的N>0):
可以很容易验证方程解(7)是不能保证方程(10)对任意N>0有解的。
那么方程(10)代表什么意思呢?它代表的是系统内的N个个体可以实现竞争均衡[12, 14],这是一种纳什均衡,通俗来讲就是对于彼此的决策达成一致的共识或者妥协,这是人类社会系统中人与人之间互动的关键特征。
但是对于物理系统中无生命的粒子而言,它们并不需要达成共识或者妥协,因为它们不像人,没有自我意识,从而也就没有个体偏好以及偏好所带来的竞争欲望。
从这个意义来看,竞争均衡的存在就是人类社会区别于无生命的物理系统的关键差别。
当然,上面只是简单的介绍了一些基本概念,想了解更加详细的内容(比如T为什么就是熵或者信息存量)可以直接阅读论文[14]:
https://iopscience.iop.org/article/10.1088/2632-072X/ad5822
在后续的博文中我会介绍方程(9)的具体应用。
参考文献:
[1]. Poudel, R. (2023): Thermodynamics 2.0: Bridging the natural and social sciences. Phil. Trans. R. Soc. A 381, 20220275
[2]. Tao, Y. (2010): Competitive market for multiple firms and economic crisis. Physical Review E 82, 036118
[3]. Tao, Y. and Chen, X. (2012): Statistical Physics of Economic Systems: a Survey for Open Economies. Chinese Physics Letters 29, 058901
[4]. Tao, Y. (2015): Universal Laws of Human Society’s Income Distribution. Physica A 435, 89-94
[5]. Tao, Y. (2016): Spontaneous economic order. Journal of Evolutionary Economics 26, 467-500
[6]. Tao, Y. (2018): Swarm intelligence in humans: A perspective of emergent evolution. Physica A 502, 436-446
[7]. Tao, Y., Wu, X., Zhou, T., Yan, W., Huang, Y., Yu, H., Mondal, B., and Yakovenko, V. M. (2019): Exponential structure of income inequality: evidence from 67 countries. Journal of Economic Interaction and Coordination 14, 345-376
[8]. Tao, Y. (2020): Self-referential Boltzmann machine. Physica A 545, 123775
[9]. Tao, Y., Sornette, D., and Lin, L. (2021): Emerging social brain: a collective self-motivated Boltzmann machine. Chaos, Solitons & Fractals 143, 110543
[10]. Tao, Y. (2021): Life as a self-referential deep learning system: A quantum-like Boltzmann machine model. Biosystems 204, 104394
[11]. Tao, Y. (2021): Boltzmann-like income distribution in low and middle income classes: Evidence from the United Kingdom. Physica A 578, 126114
[12]. Tao, Y., Lin, L., Wang, H., Hou, C. (2023): Superlinear growth and the fossil fuel energy sustainability dilemma: Evidence from six continents. Structural Change and Economic Dynamics 66, 39-51
[13]. Tao, Y. (2024): Generalized Pareto Distribution and Income Inequality: An extension of Gibrat’s law. AIMS Mathematics 9, 15060-15075
[14]. Tao, Y. (2024): From Malthusian Stagnation to Modern Economic Growth: A swarm-intelligence perspective. Journal of Physics: Complexity 5, 025028
Archiver|手机版|科学网 ( 京ICP备07017567号-12 )
GMT+8, 2024-11-9 16:10
Powered by ScienceNet.cn
Copyright © 2007- 中国科学报社