$\int^{a}_{0}\sqrt{a^2+x^2}dx=a^2\int^{1}_{0}\sqrt{1+y^2}dy$
（令$y=x/a$）
$a^2\int^{1}_{0}\sqrt{1+y^2}dy=a^2\int^{\frac{\pi}{4}}_{0}\sec^3\theta d\theta$
（令$y=\tan\theta$）

$=\frac{a^2}{2}\left[\sqrt{2}+\ln(\sqrt{2}+1)\right]$

177.
$\int^{\infty}_{0}\frac{x^{p-1}}{1+x^q}dx=\int^{\infty}_{0}\frac{x^{p-q}x^{q-1}}{\sqrt{1+x^q}}dx=\frac{1}{q}\int^{\infty}_{0}\frac{y^{\frac{p}{q}-1}}{\sqrt{1+y}}dy$
（令$y=x^q$）
$\frac{1}{q}\int^{\infty}_{0}\frac{y^{\frac{p}{q}-1}}{\sqrt{1+y}}dy=\frac{1}{q}\int^{\infty}_{1}\frac{(z-1)^{\frac{p}{q}-1}}{z^{\frac{1}{2}}}dz$
（令$z=1+y$）
$\frac{1}{q}\int^{\infty}_{1}\frac{(z-1)^{\frac{p}{q}-1}}{z^{\frac{1}{2}}}dz=\frac{1}{q}\int^{1}_{0}\frac{\left(\frac{1}{t}-1\right)^{\frac{p}{q}-1}}{\left(\frac{1}{t}\right)^{\frac{1}{2}}t^2}dt$
（令$t=1/z$）
$\frac{1}{q}\int^{1}_{0}\frac{\left(\frac{1}{t}-1\right)^{\frac{p}{q}-1}}{\left(\frac{1}{t}\right)^{\frac{1}{2}}t^2}dt=\frac{1}{q}\int^{1}_{0}t^{\frac{1}{2}-\frac{p}{q}-1}(1-t)^{\frac{p}{q}-1}dt=\frac{1}{q}B\left(\frac{p}{q},\frac{1}{2}-\frac{p}{q}\right)$