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往日（11）：比 Fisher Z Transformation 更好的标准正态分布累积分布erf逼近函数

   核心：

   我们2013年在《Transactions of Tianjin University》发表的一个初等显式函数，在逼近标准正态分布累积分布函数 erf 时，超过了国内外《数理统计学》教材里广泛使用的 Fisher z transformation 。

关键词：数理统计学，相关系数，置信区间，正态分布，累积分布函数，Fisher z transformation，初等函数，显式，高斯误差函数，非初等函数.

Keywords: mathematical statistics,  correlation coefficient,  confidence interval, normal distribution,  cumulative distribution function,  Fisher z transformation,  elementary function,  explicit,  Gaussian error function,  non-elementary function.

   今天夏至。2022-06-21 17:13:40 。

图片来自《科普中国》，感谢！

   2013-10-17 公开的，我们在《Transactions of Tianjin University》的论文“Quadratic radical function better than Fisher Z Transformation”，给出了一个比国内外《数理统计学》教材里广泛使用的 Fisher Z Transformation 更好的标准正态分布累积分布函数 erf 的初等显式逼近函数：我们的逼近函数，比 Fisher Z Transformation 更简单，所计算速度更快；我们的逼近函数，逼近误差比 Fisher Z Transformation 的小。

图1  Fig.1 Comparison among cdf and its approximations, TTU

https://link.springer.com/article/10.1007/s12209-013-1978-8

图2  Quadratic radical function better than Fisher z transformation FIG 3

https://figshare.com/articles/figure/Quadratic_radical_function_better_than_fisher_z_transformation_FIG_3/833310

   A new explicit quadratic radical function is found by numerical experiments, which is simpler and has only 70.778% of the maximal distance error compared with the Fisher z transformation. Furthermore, a piecewise function is constructed for the standard normal distribution: if the independent variable falls in the interval (-1.519, 1.519), the proposed function is employed; otherwise, the Fisher z transformation is used. Compared with the Fisher z transformation, this piecewise function has only 38.206% of the total error. The new function is more exact to estimate the confidence intervals of Pearson product moment correlation coefficient and Dickinson best weights for the linear combination of forecasts.

青年时期的数理统计学先驱 Sir Ronald Aylmer Fisher，1890-02-17 ~ 1962-07-29

https://hbunyamin.github.io/assets/images/Youngronaldfisher2.JPG

   MATLAB 里面使用的是 1969年 W. J. Cody 的《Rational Chebyshev approximations for the Error Function》，其逼近 erf 的最大相对误差在 6×10^-19 到 3×10^-20 之间。

   Cody 的这个杰出函数，缺点是复杂了一点点。计算速度慢了一点点。

   遗憾的是，我们一直没有精力和时间去计算该函数的“渐近均值 asymptotic mean”，“渐近方差 asymptotic variance”。

   会不会今后有关的教材或专著再出版时，把 Fisher Z Transformation 修改成 Fisher-Yang et al Z Transformation ？  

http://www.cqvip.com/QK/94832X/2014A02/663296953.html

参考资料：

[1] MATLAB Function Reference, erf, erfc, erfcx, erfinv, erfcinv

http://www.ece.northwestern.edu/local-apps/matlabhelp/techdoc/ref/erf.html

   For the error functions, the MATLAB code is a translation of a Fortran program by W. J. Cody, Argonne National Laboratory, NETLIB/SPECFUN, March 19, 1990. The main computation evaluates near-minimax rational approximations from [1].

   For the inverse of the error function, rational approximations accurate to approximately six significant digits are used to generate an initial approximation, which is then improved to full accuracy by one step of Halley's method.

[2] erf, erfc, erfcx

https://www.math.clemson.edu/~warner/M860/Matlab/erf.html

[3] W. J. Cody. Rational Chebyshev Approximations for the Error Function [J]. Mathematics of Computation, 1969, 23(107): 631-637.

doi:  10.1090/S0025-5718-1969-0247736-4

https://www.ams.org/journals/mcom/1969-23-107/S0025-5718-1969-0247736-4/S0025-5718-1969-0247736-4.pdf

[4] R. A. Fisher (Ronald Aylmer Fisher). Frequency distribution of the values of the correlation coefficient in samples from an indefinitely large population [J]. Biometrika, 1915, 10(4): 507-521. May 1915 https://doi.org/10.1093/biomet/10.4.507 

https://academic.oup.com/biomet/article/10/4/507/203628?login=true

[5] 王晶晶, 杨正瓴. 累积正态分布函数的逼近函数综述[J]. 计算机应用, 2014, 34(S2): 83-84, 90.

doi:  1001-9081( 2014) S2-0083-02

http://www.cqvip.com/QK/94832X/2014A02/663296953.html

https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-JSJY2014S2024.htm

[6] Zhengling Yang, Zhifeng Duan, Jingjing Wang, Teng Wang, Yanwen Song, Jun Zhang. Quadratic radical function better than Fisher z transformation [J]. Transactions of Tianjin University, 2013, 19(5): 381–384.

https://doi.org/10.1007/s12209-013-1978-8

https://link.springer.com/article/10.1007/s12209-013-1978-8

[7] Zheng-Ling Yang, Yan-Wen Song, Zhi-Feng Duan, Teng Wang, Jun Zhang. New Sigmoid-like function better than Fisher z transformation [J]. Communications in Statistics - Theory and Methods, 2016, 45(8): 2332-2341.

DOI: 10.1080/03610926.2013.771750

https://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/03610926.2013.771750?journalCode=lsta20

相关链接：

[1] 2012-08-17，胜过 Fisher z 变换！（1）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-603297.html

[2] 2013-01-29，胜过 Fisher z 变换！（2）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-657534.html

[3] 2018-08-15，[请教] Fisher z-transformation 的均值和方差是怎么求出来的？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1129325.html

[4] 2022-06-11，往日（10）：低阶非线性变换

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1342532.html

[5] 2022-05-17，往日（9）：从忆阻器（Memristor）到电荷源、磁链源

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1338956.html

[6] 2021-07-15，对2008年《超过指数增长速度的年度用电量曲线拟合预测》一文的一点说明

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1295579.html

[7] 2021-11-09，[杂录] 对1999年《人类智能模拟的“第2类数学……》一文的一些扼要说明

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1311664.html

[8] 2020-07-22，羡慕居里夫妇当初的科研条件

http://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1243092.html

[9] 2022-02-22，往日（8）：灵巧床板设想

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1326509.html

[10] 2021-10-23，往日（7）：汉语言改革与文化传承

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1309140.html

[11] 2021-09-30，往日（6）：我们对电力负荷预测的一些看法

http://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1306311.html

[12] 2021-05-02，往日（5）：1993年 IEEE 的一则 Erratum 勘误（互容 mutual capacitance）

http://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1284768.html

[13] 2021-02-03，往日（4）：组合预测之谜 forecast combination puzzle

http://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1270404.html

[14] 2020-09-13，往日（3）：《国家综合能源基地示意图》，2013-01-01，能源发展“十二五”规划

http://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1250372.html

[15] 2019-12-04，往日（2）：El Nino发生机制的天文成因

http://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1208782.html

[16] 2019-02-28，往日（1）：小样本数理统计学与“压缩感知 Compressed sensing”

http://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1164730.html

[17] 2020-08-18，没有真正“小样本”数理统计学的世界，了无生趣

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1246844.html

[18] 2020-08-13，傻正式发表过的“文化”类部分稿件的目录

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1246209.html

[19] 2022-06-03，[回忆] 我们的科技类代表性观点（或论文）（1）：“常规”研究的部分

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1341405.html

   特别说明：Transactions of Tianjin University 刊登的二次函数，由于特别简单，因此应该比 Fisher z transformation 更有用，特别是在要求快速计算的场合。

   高精度逼近正态分布累积函数的公式早就有了一些。但它们往往比较复杂，计算速度慢。就我们所知：Transactions of Tianjin University 刊登的二次函数应该是计算速度最快的。

[20] 2021-01-30，[再擂台] 最好的100个均匀分布随机数 The best 100 uniformly distributed random numbers

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1269740.html

感谢您的指教！

感谢您指正以上任何错误！

感谢您提供更多的相关资料！

——— 附录：数学参考资源网址 ———

（1）苏联数学百科全书 Encyclopedia of Mathematics
      The Encyclopedia of Mathematics wiki is an open access resource designed specifically for the mathematics community. The original articles are from the online Encyclopaedia of Mathematics, published by Kluwer Academic Publishers in 2002. With more than 8,000 entries, illuminating nearly 50,000 notions in mathematics, the Encyclopaedia of Mathematics was the most up-to-date graduate-level reference work in the field of mathematics. 
https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Main_Page
                                      
（2）NIST Digital Library of Mathematical Functions
      2016-12-21 DLMF Update; Version 1.0.14
http://dlmf.nist.gov/
                                      

（3）NIST Handbook of Mathematical Functions Hardback and CD-ROM
      Edited by Frank W. J. Olver
      University of Maryland and National Institute of Standards and Technology, Maryland
      et al.

https://www.cambridge.org/catalogue/catalogue.asp?isbn=9780521192255

http://www.cambridge.org/catalogue/catalogue.asp?isbn=9780521192255

（4）Handbook of Mathematical Functions  with Formulas, 

Graphs, and Mathematical Tables (Partially Mathcad-enabled)
      This 1972 book is a compendium of mathematical formulas, tables, and graphs. It contains a very complete table of analytical integrals, differential equations, and numerical series; and includes tables of trigonometric and hyperbolic functions, tables for numerical integration, rules for differentiation and integration, and techniques for point interpolation and function approximation. 
https://app.knovel.com/web/toc.v/cid:kpHMFFGMT1/viewerType:toc/root_slug:handbook-mathematical/url_slug:handbook-mathematical/

（5）Alphabetical Index, MacTutor History of Mathematics Archive

https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/

（5-2）History Topics Index, MacTutor History of Mathematics Archive

https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/

   The links below will take you to individual articles or to index pages for articles on these topics.   School of Mathematics and Statistics  ,   University of St Andrews, Scotland

感谢您提供更多的相关资源！