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瑕疵之美---放射性元素的半衰期之问

已有 5533 次阅读 2016-6-18 16:48 |个人分类:物理|系统分类:科普集锦

2012年,欧洲物理快报EPL上发表了一个骇人听闻的文章:

Is radioactive decay really exponential? (放射性衰变真的是指数衰减吗?)

作者质疑了放射性碳定年法的理论基础,即碳14的衰变是严格指数的。好家伙,碳14定年法可是得了奖的大杀器,已经被考古界作为标准工具使用了几十年了,如果这个工具的理论基础有误,那现代考古学的基础就动摇了。

不过,这个质疑不是没有道理。

现在大家习以为常的放射性元素以指数衰减这个“经验”,最早是卢瑟福和朋友soddy一起建立的。这个发现构成了soddy于1921得化学奖的一个重要原因。下图来自他们的原始文章(1903)。注意他们并没有对纵轴取对数。


从图可见,相关放射性元素的半衰期是在天的量级。事实上,相关元素是氡(而这里的氡本身则来自放射性元素钍),半衰期是3.8天。

这样卢瑟福和soddy就建立了放射性元素衰变的统计性质。他们建立的指数衰减定律一定意义上很合理很好理解,即只需假设元素没有记忆,下一刻发生衰变的几率与之前的历史无关,只要元素还没衰变就没有“变老”。类似的指数衰减定律物理学家早已熟知,比如光在物质里的衰减的beer-lambert定律。

所以,卢瑟福和soddy发现的放射性元素的指数衰减定律很合理,至少从唯象的角度看如此。

不过,后来有了量子力学,问题就来了。

第一个用量子力学研究原子核衰变(具体而言是alpha衰变)的是苏联人Gamow。在他的简化模型里,alpha衰变是个量子隧穿过程。他的大略的计算可以给出alpha衰变的半衰期的特征时长,跟实验吻合还好。不过,他的工作更多是指出了alpha衰变的量子隧穿的本质,而并没有证明这个过程是严格的指数衰减过程。

事实上,从量子力学的薛定谔方程的角度看,问题可以表述如下:假设我们有一个系统,也就是有个哈密顿量。在初始时刻,系统处在某个亚稳态f(0)上,之后系统波函数放f(t)在系统哈密顿量的控制下演化。问题是,系统保持在初始时波函数的几率L(或者说几率幅a(t),即f(t)与f(0)之内积)如何随时间变化。

在这个表述下,真看不出来为什么L一定要指数衰减。

第一个得到指数衰减的可能是wigner和weisskopf。他们用量子力学求解了一个二能级原子的自发辐射过程,在一定近似下,原子保持在激发态的几率指数衰减。不过,这里面毕竟有近似。

后来,若干苏联人得到了若干严格的结果,明确指出,指数衰减在足够短和足够长的时间范围内,都不会成立。首先,1945年Mandelstam和Tamm证明了不等式,


这里的Delta-H是系统能量的均方差,不等式在右边函数的第一个零点之前都成立。所以,在足够短的时间范围内,系统的衰变是抛物线形式,而不是指数形式,也就是比指数衰减慢。这个事实后来成为量子芝诺效应的基础。他们的这个公式很重要的一点是,暗示了初始波函数的能量分布对其衰变行为的影响。显然,Delta-H越小,右边趋于零就越慢。这很合理,Delta-H越小,初始波函数越接近某个能量本征态,其衰变自然就慢。

稍晚点,1946年,Fock和Krylov把这点进一步明确化,他们指出,



非常简单而漂亮的定理!原来系统保持在初始时刻波函数的几率幅,其实就是其能量分布的傅里叶变换!一经点破,这个事实不作计算都看得出来。

有关傅里叶变换,有非常系统非常丰富的理论。刘全慧教授曾有个介绍: http://blog.sciencenet.cn/blog-3377-552303.html  

在傅里叶变换理论里,有很多定理的内容是说,如果一个函数有如此如此性质,那么其傅里叶变换就有那样那样的性质。量子力学里的不确定性原理即是一例。

在目前的问题里,我们的研究对象,即能量分布函数有个特点,即在系统基态能量以下,它取值严格为零!这个性质导致的后果就严重了。1947年,苏联人Khalfin利用数学家paley和wiener的定理,指出在时间足够大的时候,系统保持在初态的几率将从指数衰减转入幂指数衰减!

这个长时行为是量子动力学的一个经典结果!我们现在知道,卢瑟福和soddy的指数衰减定律在足够长的时间后一定会失效。问题只是这个时间需要多长。如以下文献指出的,

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一般而言,这个时间至少是元素半衰期的几十倍,所以实验上很难观察到。


注1:元素半衰期的测量是个很基本的问题。在卢瑟福和soddy的实验里,放射性元素氡的半衰期是3.8天,所以他们可以确定什么时候放射性活度降为一半,以此确定半衰期。可是,对那些半衰期特别长的元素怎么办?比如,铀238的半衰期是45亿年,我们显然不能等45亿年。好在阿伏伽德罗常数是个巨大的数字。在杨福家的原子物理里有计算,即便只有1mg的铀238,在一分钟内,也会放出740个alpha粒子。所以,通过测量单位时间内放出的alpha粒子,我们就能确定铀238的衰变速率,进而确定其半衰期。类似地,人们通过检测5000吨水的衰变(日本的超级神冈探测器),确定质子的半衰期至少在10的30次方的量级。

注2:物理学里另外一个应用paley-wiener定理的杰出成果是kohn指出的,一维晶格中,wannier函数是指数衰减的。

注3:总所周知,洛伦兹函数的傅里叶变换是严格的指数衰减函数。但是,洛伦兹函数在全实轴上非零,所以不可能是某个真实系统的某个波函数的能量分布函数。在某些理想模型下,指数衰减至少在有限时间段里是完美实现的,不过这个模型基态能量无下限,具体见教学文章 Fermi's golden rule: its derivation and breakdown by an ideal model

注4:以上苏联人的三个文章,是连成一线的。后一个文章明显受前一个文章影响。所以,科学的发展都是一小步一小步走的。

注5:很多放射性元素的衰变曲线在很大时间范围内确实是指数衰减,但是这绝不意味着任意或者说大部分初态都有类似行为。比如这个例子,在一个1d的紧束缚模型里放一个粒子在某个bloch态上,突然改变某个格点的势能,粒子保持在初态的几率对时间是个抛物线函数。



https://wap.sciencenet.cn/blog-100379-985398.html

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4 徐令予 吕喆 刘全慧 wangbin6087

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