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仅仅是计数:费米的黄金规则 精选

已有 20003 次阅读 2016-4-22 16:02 |个人分类:物理|系统分类:科普集锦

在几乎所有的量子力学教材中,都会有一条个性鲜明,带有明显感情色彩的定则,即费米黄金法则(fermi's golden rule)。以科学家名字命名的定理定律效应很多,但是这个为什么会加上黄金这个头衔?

其实这个定则不是费米提出的,是dirac提出的(1927)dirac量子化了电磁场,并以此为基础研究了原子的自发辐射,在研究这个问题的时候dirac给出了这个法则的公式。

大致而言,dirac研究了这样一个问题:一个离散能级,能量上落在某个连续谱中,其与连续谱有耦合,初始时刻系统处在这个离散能级上,那么系统跃迁到连续谱里的几率如何随时间演化?dirac用最简单的微扰论算了下,发现跃迁几率随时间线性地增长。这个结果很好,可以将斜率定义为跃迁速率。

定量而言,跃迁速率正比于态密度和耦合强度的模方。其表达式如下


此即所谓的费米黄金规则!

正比于态密度,正比于耦合强度的模方,这是费米黄金规则的两个特征。

记住这两点,便可以理解很多现象。

费米本人之所以钟情于这个定则,大概是因为他曾经利用这个定则做过他一生最重要的贡献,即beta衰变理论(1934)。与通常原子的辐射,以及alpha衰变不同,Beta衰变有个很奇怪的特征,即放出的电子的能谱是连续的(见下图)。


按照当时越发流行的量子理论,电子的能量不应该是离散的吗?为此,bohr这种曾经因为大胆而获益的,再次大胆地提出微观领域能量不严格守恒。不过,更聪明的pauli怀疑,可能衰变产物里有第三者,即一个质量非常小的粒子,它带走了部分动量和能量,这使得电子的能量可以取连续值。费米便接过了这个假设,提出了他的beta衰变理论。在他的理论里,一个中子衰变成一个质子和一个电子,外加那个神秘的第三者(即后来的中微子)。考虑到相关粒子的波长应该远大于原子核的尺寸,费米认为从初态到各种末态的耦合强度是个常数,即与电子及中微子的动量大小和取向都无关。这个常数后来叫费米常数

那么,接下来,按照上面dirac推导的定则,电子取一定能量或者说动量的几率,正比于相应的态密度。所以,现在的问题无非一个简单的计算态密度的问题!费米随便一算,发现跟实验测得的谱吻合得不错。

费米很激动,坚信自己的工作将让自己不朽,把文章投到了nature,很快被拒,理由是too speculative。在此打击下,费米从此转向实验研究。很多年后,在给研究生讲原子核物理的时候,费米将dirac的定则称为黄金定则,费米的黄金定则就这样传开了。


因为懂费米黄金规则,也得过奖的牛人purcell提出了以他命名的著名效应。我们一般讲一个原子有它的固有属性,一个在地球上的铁原子与一个在月球上的铁原子全同。在purcell之前,人们以为一个原子的某个能级的寿命是该原子的固有属性。但是purcell意识到,按照黄金规则,其实原子的自发辐射速率与其所处的环境有关。比如在一个谐振腔里,因为腔壁提供的边界条件,腔模的频谱相比自由空间的情况有改变,也就是态密度有改变;而原子与腔模的耦合强度又与原子所在腔的位置有关。所以,原子的自发辐射可以通过控制其所处环境得到增强或者被抑制。

Purcell的原始文章很短,其实只是个会议摘要:


purcell的这个被引用了近4000次的短文,是后来腔量子电动力学的发端。

Purcell是因为发现核磁共振而得奖。在核磁共振里,原子核经由外场控制在上下能级之间跃迁。那么我们需要担心原子核的自发辐射吗?通常一个原子的自发辐射是很快的是不是?答案是不需要。原因很大程度上也来自费米黄金规则。原子核磁矩在外磁场中的翻转,所在能量范围对应的是微波或者射频波段。按照费米黄金规则,自发辐射的速率正比与光子的态密度,而很容易看出光子的态密度与其频率的平方成正比。事实上,原子自发辐射的速率正比于其放出光子的频率的三次方,指数32来自态密度,1来自耦合强度。所以,微波频段的自发辐射速率比可见光波段的自发辐射慢了至少10个数量级!事实上,purcell还提过所谓的负温度,也就是处在上能级的核比在下能级的多。正是因为这个原因,他根本不需要担心自发辐射。其实也正是因为射频波段的自发辐射比可见光波段的自发辐射慢得多,布局数反转容易实现,历史上MASER比LASER更早实现。

费米黄金规则不光对自发辐射有影响,对大部分光学现象也都有影响。比如天为什么是蓝的?按照经典电动力学的理论,瑞利散射的界面正比于入射光频率的四次方,所以蓝光比红光的散射截面大了大概6倍。按照量子力学,就是直接应用费米黄金法则,指数42来自态密度,2来自耦合强度(与自发辐射一级过程不同,瑞利散射是二级过程)。


注1:费米黄金尽管很重要,但毕竟是一级微扰的结果,在微扰强的情况下,定量上不再适用。事实上,定态散射理论里的玻恩近似,即费米黄金规则的直接应用。众所周知,在散射势强的时候,玻恩近似很差。

注2:dirac的原子自发辐射理论,因为是一级微扰理论的结果,所以还很粗糙,后来weisskopf和wigner发展了更系统更完整的理论。这可能是weisskopf最重要的工作?

注3:所谓的fano共振其实也是费米黄金规则的直接应用。

注4:长期以来,各类教材对费米黄金规则的推导都不太让人满意。近似太多,学生都被搞糊涂了。比较典型的是取时间t趋于无穷大,以得到那个delta函数。但是,既然是一级微扰理论,怎么能期望结果在无穷大时间依然成立?其实有个非常简单的模型(1972年被人严格解),非常适合展示费米黄金规则的特征,也能展示它何时失效,所有计算都是严格的。为此,我们专门有个教学文章 http://arxiv.org/abs/1604.06916  

注5:费米的beta衰变理论当然被后来更系统的理论替代了(不过具体我也不懂了)。不过,他的理论唯象地抓住了正确的物理,优美简洁。



https://wap.sciencenet.cn/blog-100379-971956.html

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