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你所没意识到的地球章动(兼谈有趣的刚体运动) 精选

已有 6130 次阅读 2015-7-21 22:34 |个人分类:物理|系统分类:科普集锦

人所周知地球在自转。地球的自转定义了很多地理概念,如南北极点,赤道,南北回归线等。

但是如果是学过大学理论力学的话,可能会意识到,地球的转动可能没那么简单,准确地讲,地球的自转轴可能不是固定的,相应地,地球的南北极点,赤道,南北回归线等都不是固定的。

假设地球是个刚体(这个假设是否成立另说)。如果地球是完全球对称或者至少具有轴对称的话,没问题,在忽略其他天体的影响的情况下,自转轴应该是不变的。但是地球显然不是严格球对称或者轴对称的,那么问题就复杂了。问题的关键在于,对于一个一般形状的刚体(如一双鞋),当其绕某个通过其质心的轴转动时,其角动量一般来讲不会平行于转动轴。用数学的语言讲,一个一般形状的刚体的转动惯量缺乏对称性,因此它只有三个非简并的,彼此垂直的惯量主轴。只有当刚体绕这三个轴转动时,其角动量才会恰好在自转方向上。这便暗示着刚体的转动不是那么简单。这一点可以进一步通过考虑这样一个特殊情形有所体会。对一个一般形状的刚体,在空间取任意一条通过其质心的轴,让刚体绕此轴匀速转动。这个刚体的角动量不恰好在轴上,而是随着刚体绕轴作同步转动。而一个自由刚体对其质心的角动量是守恒的。所以,上面这种简单的运动一般来讲不是一个自由刚体的转动。

最早系统研究刚体转动的应该是欧拉。欧拉是天才,其才能堪比牛顿。他得到了著名的欧拉方程,这组方程描述了在刚体自身坐标系下,其自转轴和角速度的时间演化。作为地球的居民,我们关心的是地球自转轴的演化,也即极点的移动,我们自然地会选择地球自身坐标系,所以欧拉方程正好满足我们的需要。欧拉当时已经知道地球是扁平的,他给出的极点移动周期是305天。不过,一百多年后,美国人chandler确认地球章动存在后,发现其周期是433天。其中差异可能因为地球并非完美刚体。当然,真实的地球还受到月球太阳等天体的影响,这些因素也导致地球极点的移动,所以地球极点移动的准确周期大概是7年。极点移动引起的北回归线的移动有图为证:

图中地点在墨西哥。从图中可以看到,极点的移动大概在米的量级。北回归线也穿过我们中国,我肇庆的同学总吹嘘肇庆是北回归线上唯一的绿洲。也许我们也可以类似墨西哥竖几个牌子科普大众?

所以刚体转动不是那么简单的。欧拉的方程完整地描述了刚体自由转动在自身坐标系下的行为,但是在刚体之外的观察者看来,刚体转动是个什么图景?这个问题被法国人Poinsot完整解决。Poinsot提供了一个非常简单的几何图像,在实验室坐标系下看,一个刚体的自由转动对应其能量椭球在某个平面上的无滑滚动。Poinsot留下的工作不多,不过这个工作让他不朽。

所以对一个自由刚体的转动,我们既有基于其自身坐标系的欧拉方程,又有基于绝对空间的poinsot构造,问题似乎被完全解决。不过,这些都还是太数学。一个展示刚体转动的非平庸性的著名效应是所谓的dzhanibekov effect。这里的视频是在空间站失重环境下做的。这里有我自己在办公室用书演示的。


后记:小学的时候,一直不懂刻舟求剑故事的寓意。如果你也曾经跟我一样愚笨,希望这个博文能够给你点启发。我们总想找一个一成不变的东西作为标准,可是当你发现连地球的自转都不是一成不变的时候,你是否会死心?



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