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反问题之波函数分解成指数函数之和

已有 4343 次阅读 2014-3-21 21:52 |个人分类:物理|系统分类:科研笔记

最近在用bethe ansatz解一个两粒子的模型时,我们遇到了这样一个有意思的数学问题:

通过严格对角化,我们可以获得波函数的精确解。问题是,这个波函数是否具有bethe ansatz的形式呢?具体而言,这个波函数是否可以写成若干个(在我们的问题中是四个)指数函数的叠加呢?

一个自然的想法是做fourier分解。但是这个路子的缺陷是明显的,因为fourier分解采用的正交归一的基函数是事先给定的,而波函数里涉及到的指数函数的指数因子是比较随机的。Fourier分解也许可以给出几个尖峰,但是仍然不能断定波函数是且仅仅是四个指数函数之和。

更何况,fourier分解采用的基函数是不衰减的,也就是指数为实数。而这里的波函数可能包含衰减的指数函数。

我们后来找到的办法简单而精确。这个办法其实早在1795年就被prony找到了,所以一般称为prony算法。

学过线性代数的人大概都做过这样的习题:有一个递归数列满足

x_{n+2} = x_{n+1} + x_{n}

已知初值x_0和x_1,  求解x_n的表达式。

这类线性迭代问题(也出现在差分方程里)的标准解法是采用转移矩阵框架(transfer matrix formalism)。通过对角化转移矩阵,很容易获得 x_n 的一般表达式------在非简并的情况下------形式为指数函数之和!

所以,线性迭代方程给出指数函数叠加。反过来也成立!如果一个数列是M个指数函数叠加,那么这个数列满足一个长度为M的线性迭代方程!

所以,只需要检验波函数是否满足一个线性迭代方程!

具体而已,找连续2M个数据,构建一个线性方程求解问题,看解是否依赖于这2M个数据的位置就行了。如果解不依赖于位置,那么说明这个波函数是M个指数函数之和;反之,如果解依赖于位置,那么说明波函数不是M个指数函数之和。特别地,如果证实波函数是M个指数函数之和,那么解就确定了一个线性迭代关系,由此可以确定指数函数之指数。

这个算法在信号处理里用得很普遍,但是貌似在physics里还没被用过。做bethe ansatz的人整天跟这类波函数打交道,但是可能因为这个圈子是严重倾向于解析的,所以他们从来没从数值的角度考虑过,所以也没提出这个算法。

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3 蒋迅 徐晓 dailiangren

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