学过量子力学的人对一维的单粒子散射问题都比较熟悉。无论在教材还是在习题集里，这样的问题都很典型。

具体而言，下面的这个散射问题很简单：

在一个一维的紧束缚模型里引入一个位缺陷，也就是让某个格点的势能改变点。这时候如果有个波矢为k的粒子入射，它将被这个位缺陷反射或者透射。两者的几率很容易计算。

所以这是个人人都会做的问题。

那好，让我们把问题稍微改动下。

注意到位缺陷引入了一个缺陷模，也就是这个位缺陷可以束缚一个粒子在其周围。那好，现在先放一个粒子在这个缺陷模里，然后让第二个粒子以波矢k入射。这两个粒子都感受相同的位缺陷，此外，两者还有相互作用，如果它们在同一个格点上的话。

问题现在复杂了！散射的终态有太多可能了。比如，原入射粒子可能被反射或者透射，而原束缚粒子依然被束缚。另外一个可能是，它们交换角色，原来入射的被束缚，原来被束缚的被解放而向前或者向后逃逸。第三种可能是，两个粒子可能由于相互作用结合成一个分子，整体地逃逸（向前或者向后都有可能）。最后还有一个可能是，原来被束缚的粒子被解放，两个粒子都自由地远离缺陷位，并且也不抱在一起。这时候，两个粒子的动量可以取连续的值，因为只有总能量守恒。

我们提出这个问题是在这个文章中：

http://journals.aps.org/pra/abstract/10.1103/PhysRevA.87.023613

起初我们研究这个两粒子模型（其物理极其丰富）是为了研究物质稳定性方面的课题。这个散射问题非常类似电子被氢原子散射的问题。

快两年了，这个问题我们一直没有找到特别好的处理办法。因为这个模型在奇宇称里是可以解析解的，所以这个散射问题在奇宇称里容易解，第三和第四种情况都不发生；但是偶宇称就麻烦了，第三和第四种情况都可以发生，并且可以同时发生。数值可以得到一些结果，但是缺乏理解。

个人特别喜欢这样的问题。就好像栾生素数猜想，人人都明白猜想的内容，但是很少有人能够做出贡献。相信这个问题也足够简单到每个本科生都明白问题本事，但也相信很少有人能够找到有效的解决办法。

有兴趣的可以思考下。不过一心想找fancy的课题发prl的就不要浪费时间了。