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Picard大定理与曾谨言量子力学

已有 5594 次阅读 2016-11-26 11:25 |个人分类:物理|系统分类:科研笔记

书到用时方恨少。

复变函数不仅是数学系基础课程,也是物理系基础课程。大一的一元实函数里已经有无数惊人的定理,到了大二的复变函数和数学物理方法,就会发现复平面里惊人的定理更是多得不可胜数。

其中有一类定理是关于函数的值分布的。

比如代数基本定理。这个定理说明一个n次多项式在复平面取任意值恰好n次,特别的,取0这个值n次。

再比如liouville定理。这个定理说一个全平面解析的函数(整函数)如果不是常函数,其取值无界。

比liouville定理强的是picard的小定理。liouville的定理只是说函数取值无界,没有排除很多值没有被取到这种可能。picard的小定理排除了这种可能,将结论加强为,最多有一个值取不到!作为例子,一个非常数的多项式把每一个值取n次,指数函数e^z除了0以外所有值都可以取到。

还有关于本性极点的weierstrass定理和picard大定理。weierstrass定理相对比较简单粗糙,它是说一个解析函数在其孤立的本性极点(必须是本性的,即laurent级数有无限项)附近,可以以任意精度逼近任意给定值。picard的大定理将“逼近”加强为“取到”。具体而言,picard大定理说,在那个本性极点的任意邻域内,除了一个可能的另外,任意值都被无穷次取到!

这些定理都很强很美妙。博主本科的时候就听说过。不过,它们跟物理学有什么关系呢?在什么样的物理问题里会遇到这些定理呢?这真的很影响秉承实用主义的物理工作者学习它们的欲望。

可是,最近博主发现picard的大定理还真会出现在基本量子力学问题里。

在曾谨言先生的量子力学专题分析第9章里,他讨论了一维势阱的束缚态能级共振态能级与散射振幅的极点之间的关系。特别的,在9.5节,他讨论了双delta势阱,



最后算出来的确定散射矩阵的极点的方程是下面的9式。




其中beta是复变量,其他参数为实的常数。所以,现在要确定束缚态或者共振态的能量,就得寻找这个方程的零点。这可怎么办?这是个超越方程,相关函数是一个整函数,具体而言是一个指数函数与一个多项式之和。

没有什么好的思路,博主便把问题放到了stackexchange上。

http://math.stackexchange.com/questions/1981150/how-many-zeroes-does-this-transcendental-equation-have  

很快,牛人出现了。牛人指出根据picard大定理,任何形如exp(bz)-p(z)=0的方程都都无数个零点,其中p是一个多项式。理由是,考虑函数exp(-bz)p(z)。这个函数在无穷远处有个本性极点。而其只有有限个零点,即p(z)的零点。所以,0即那个特殊值。其他的值都可以被无穷次取到,特别的,1可以被无穷次取到。所以,原来方程exp(bz)-p(z)有无穷个零点。

博主以为一辈子也用不到的picard大定理竟然在这样一个简单量子力学系统中起作用了!



https://wap.sciencenet.cn/blog-100379-1016880.html

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