第一节：水龙头上的射流

  我们的生活周围经常可以看见各种射流。射流即流体喷射到周围介质中形成的流体运动。当我们拧开水龙头的时候，水流倾泻而下，这是我们生活中最常见的射流了。看上去一个很简单的现象，但其中，依然有许多有趣的故事。

Fig.1 水龙头上的射流.a,是周期性的液滴（Dripping）阶段；b为准周期或者混沌态的液滴滴落阶段；c,d都是形成了喷射流（Jetting）的阶段，c射流破坏的早一些。

 日常生活的经验告诉我们，打开水龙头，有时候是一滴一滴水往下掉，有时候是连续的射流，从一滴一滴水到射流的整个过程，到底发生了什么呢？

第二节：The transition from dripping to jetting

----Clanet & Lasheras的工作

2.1。从液滴到射流的三个阶段

   C. Clanet和J. C. Lasheras 1999年的文章专门介绍了水龙头上的水从一滴一滴往下落，到转变为连续的射流的故事。

   从液滴到射流，大体可以分为三个阶段，主要依据韦伯数 $We=\frac{\rho V_{0}^{2}D}{\sigma }" width="87" height="35" border="0" hspace="0" vspace="0" style="float:none;width:87px;height:35px;$ 的大小来进行分类。其中，V₀为流体到达管口的速度，D为管的内直径，D₀为管的外直径，σ为表面张力，ρ为液体密度，液体的运动学粘性系数为ν。整个过程的示意图如下

Fig.2 D = 2:159 mm and Do = 2:769 mm:(a) We = 0:063, (b) We = 1:73, (c) We = 2:3.

  第一阶段：即液滴一滴一滴的形成，然后往下滴落（Fig.1a），该阶段称为Periodic Dripping，此时，液滴的形成是周期性的。1864年，Tate研究了管道口液滴的形成过程，并提出了著名的Tate定律，即所产生的液珠的质量与由毛细作用能够承受的水的质量成正比，其总结的公式表述为：

$M=2\pi \sigma R_{0}/g$                    （1）

其中，M为产生的液滴的质量，R₀=D₀/2。1899年，Rayleigh通过量纲分析得到了如下表达式

  $M=\sigma R_{0}/gf(R_{0}/a)$               （2）

其中，a为毛细长度 $a=(2\sigma /(\rho g)))^{1/2}$ ，对水而言，a约为3.8mm。函数f的具体表达形式由实验来决定。Fig.3展示了相关的实验结果。

Fig.3 Harkins & Brown因子， $F=\frac{f(R_{0}/a))}{2\pi }$

利用得到的公式（2）以及实验结果Fig.3，这是一种著名的实验上进行测量液体的表面张力的办法，称为“Drop-Weight Method”。只要多次测量特定条件下滴落下来的液珠的质量，以及相应的参数，与实验结果进行比较，便可以得到液体的表面张力了。

从实验结果Fig.3可以看出，当R₀/a<<1的时候，液滴几乎呈完美的球形，此时，整个结果便和Tate的结果一致了。当R₀/a的值增加，液滴的形状开始改变不再是球形。

第二阶段：当韦伯数慢慢增大，会达到第一个阈值，此时虽然还是液滴滴落过程，但是，液珠的分离已经开始变成了准周期的了，甚至是混沌的，称之为Dripping Faucet阶段。这个过程只在非常短的参数区间内出现，有许多研究者将其作为一个很好的非线性系统来研究混沌动力学，包括混沌吸引子等，如Martien et al. 1985，D’Innocenzo & Renna 1996.

第三阶段：随着韦伯数的继续增大，产生了连续的射流（射流长度大于10D₀），此时在达到第二个阈值的时候，发生了从液滴到射流的转变过程。由于Plateau-Rayleigh 不稳定性的存在，在足够远的地方，射流任然会被破坏变成一滴一滴液滴落下。

2.2. Clanet和Lasheras的研究中的参数区域与实验结果

在Clanet和Lasheras的研究中，要求管内直径足够小，从而可以忽略Rayleigh-Taylor不稳定性的影响，使流体表面能够稳定。由于研究过程中认为，惯性、重力及表面张力起主要作用，因而也不考虑粘性的影响。另外，管的厚度即D₀-D足够小使得流体流到管口后可以完全浸润整个横截面。具体的参数范围如图Fig.4

Fig.4 研究的参数范围，其中Bo为Bond数，Bo=D/a，

  通过实验，首先得到了不同的管外直径条件下，临界速度的取值（Fig.5），在参数图中，该结果把三个不同的阶段完全分开了

Fig.5 不同区域的边界

再回到图Fig.2中，我们可以看到产生液滴的时候，从出口到最远端的距离为Z_tip，实验得到了其随着时间的演化图Fig.6

Fig.6 Z_tip随时间的演化。左图We=0.0045，右图We=1.6

从Fig.6中可以看到，一开始的周期性的产生液滴（Periodic Dripping）到一个双周期的过程（Dripping Faucet）。这让我们直观的看到了两者的区别。关于有意思的类似于磁滞现象的效应这里则不多介绍。

2.3. 从液滴到射流的转变模型

Fig.7 悬挂的液滴的动力学模型

速度v=dz/dt,利用Taylor（1959）的结果，考虑各种力的作用，可将模型写为

        （3）

其中S=πD²/4为射流的横截面积，为射流速度的绝对值。由质量守恒可得

  $M=\rho S(z+\widetilde{V_{0}t})$                      （4）

所以

     （5）

该方程有精确解

                   （6）

其中

Fig.8 解的抛物线性质

最终，得到了临界的韦伯数的表达式

 （7）

达到临界韦伯数时，流体运动从复杂的液滴滴落变成了连续的射流。除了上述的结果之外，还有一些很有意思的动力学行为，如Clasen等人的工作，向我们展示了非常有趣的液滴到射流的转变过程。他们称之为Gobbling的现象是在末端的形成了非常大的液滴，而该液滴以及各种力的相互作用导致了非常丰富的动力学行为的产生。可见参考文献2或者相关视频.

Fig.9 Gobbling 现象：巨大的末端液珠产生的复杂的动力学行为

第三节：Plateau-Rayleigh instability

  射流在重力的作用下往下落，长度不断在增加，当达到临界值的时候，无论之前产生的射流看上去多么完美，在表面张力的作用下，射流不再继续保持柱体形状，变成了许多小液珠落下，因为有Plateau-Rayleigh不稳定性的存在。

  1873年，Joseph Plateau最早利用实验描述了这种不稳定性，之后，Rayleigh勋爵利用理论分析得到了相应的结果。这种不稳定性来自于外部的小的物理扰动。对于真实的物理系统而言，微小的扰动往往是不可避免的。

  对于这种不稳定性，具有广泛的运用，相应的理论分析可以用在纤维或者圆筒竿上的液膜的行为，这种液体膜此时也是不稳定的，当微扰增大的时候，Plateau-Rayleigh不稳定性也在增加。此时，粘性效应以及液膜的亲水性变得非常重要，但是，就这种不稳定性导致的一般行为而言，柱状的流体变成了许多的小液珠这点此时也会产生。此外，液珠击打到静态的液体表面时，水花的飞溅也与Plateau-Rayleigh不稳定性具有极大的关联，溅射的边缘可以用一个不稳定的柱状体来模拟（Deegan, 2008）。

  除此之外，时空稳定性问题中，也有用到了Plateau-Rayleigh不稳定性的（Cardoso, 2006）。流体的不稳定性在生产实践中也有许多的应用。

  对于Plateau-Rayleigh不稳定性，这里只是简单提及，不稳定性是流体力学中的一个重要的话题，因而需要更多的学习和研究。

Fig.10 蜘蛛网上的小液珠

部分参考文献：

1. C. Clanet & J. C. Lasheras, 1999 Transition from dripping to jetting. Journal of Fluid Mechanics 383, 307–326.

2. C. Clasen, J. Bico, V. M. Entov and G. H. McKinley (2009). ‘Gobbling drops’: the jetting–dripping transition in flows of polymer solutions. Journal of Fluid Mechanics, 636, pp 5-40

3. O. Breslouer, 2010 Rayleigh-Plateau Instability: Falling Jet. Final Project Report

4. https://en.wikipedia.org/wiki/Plateau%E2%80%93Rayleigh_instability