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大量个体的简单交互(无中心控制、非完全信息、局部相互作用),形成复杂的网络行为,并可在宏观上涌现出结构和功能,复杂网络的魅力可窥一斑[1],领域研究早已遍及自然与社会生活的各个领域[2]。“自从1999年Barabási和Albert在《科学》上提出无标度网络起,迄今为止,普遍认为无标度网络是指度分布有(或至少近似地有幂律形式),P(k) ~ k^(-γ)(这里记号~指渐近正比)。由于人们对这个幂律形式的认识和理解不同,以及网络度上有限与无限的巨大差异,关于无标度网络概念的讨论一直没有停止过。”[3]阎春宁,史定华等还就幂律问题在《复杂系统与复杂性科学》上发表了系列文章[4],文中将无标度网络细分为精确幂、拟幂律、幂律尾部、幂律行为、幂律关系几个从特殊到一般、相互包含的子类别。
无标度的直接解释通常是 P(ck) = (ck)^(-γ) = [c^(-γ)] k^(-γ) = C k^(-γ) = C P(k), 可见标度改变时,函数曲线的形状和函数的指数都没有变,即具有标度不变性。
标度不变性的含义是在复杂网络上任选一局部,由于其自相似性,局部网络的形态、规律、功能均与原网络不会发生变化,即在尺度伸缩时具有对称性。上述解释很容易地联想到分形的概念,分形来源于几何,但如果仔细地将功能或者信息结构作映射,则分形——对形态的相似性的研究就很可以应用到此二领域;分形是严格的,但可以通过统计意义上的相似来放松约束,扩展其应用范围;分形是理想的,无限嵌套,可以通过增加标度区间来描述实际网络中自相似行为的适用域。
BA模型提出时的机理解释有两个要点,一是增长,二是择优,从而得到节点度具有标度不变性的网络。而变M模型和年龄模型,一般认为不具有严格的标度不变性,但作用机理 T 如果在不同层次是稳定的,是否也意味着存在着某个其他的宏观序参数是标度不变的呢?至少可以定义出一个 F 只跟 T 有关,从而 F(T)是标度不变的,这个函数如果可以区分 T,从而将复杂网络按照形成机理分类。
现在的无标度性是按度增长的规律来对复杂网络分类,这个意义上说,无标度性是一个用来对网络进行分类的方法,幂指数是此网络分类的宏观序参数。这种依靠无标度的分类方法之所以是重要的,因为增长和择优都是朴素的机制,体现了连接机会的均等,这成为现实中区分不同网络形成机理的分水岭。
[参考]
1. 复杂网络研究——现状与前瞻,狄增加,北京师范大学,http://wenku.baidu.com/view/88f39eff910ef12d2af9e776.html,2007
2. 复杂脑网络研究:现状与挑战,张方风,郑志刚,http://wenku.baidu.com/view/3bbb9629bcd126fff7050b3a.html?re=view,2012
3. 无标度网络的争议,史定华,上海大学,http://wenku.baidu.com/view/6a48c427192e45361066f570.html,2012
4. 幂律思考系列文章2——无标度网络的不同定义和包含关系,阎春宁,史定华,http://www.doc88.com/p-9733390632710.html,2014
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