【逻辑学知识】自然推理系统

一、自然推理是什么？

所谓自然推理，就是从给定的前提命题出发，运用演绎推理的有效式即根据演绎推理规则进行的推理。 属“演绎推理”，前提命题的合取（∧）蕴涵（→）结论命题。自然推理和公理化推理不同，它不预设公理，只是根据规则，从给定的前提命题出发得出结论命题。这似乎更符合人们日常思维的习惯，因此，称之为自然推理。自然推理是判定推理形式有效的一种方法。自然推理的基本思想是确定一些推理规则，这些规则具有保真性，也就是说，依据这些规则，从真前提只会推出真结论。

二、自然推理系统的组成

由以下三部分要素组成 :  

1. 字母表 :   
   (1) 命题变项符号 p；q；r；---；  
   (2) 联结词符号 :

        ￢（非）；

       ∧（合取）；∨（析取）；

       →（蕴涵）；

       ↔（等值）；

     （同时表示运算优先级）  
   (3) 括号与逗号: （）；，。  
2. 合式公式集  
3. 推理规则

三、基本规则
1、前提引入规则，在推理的任何一步都可以引入前提，这条规则为p规则。
2、重言蕴涵规则，如果在推理中有一些在先的命题，它们的合取（∧）重言地蕴涵（→）A，那么，在推理中就可以引入命题A，这条规则为T规则。
3、条件证明规则，如果能从假定前提A和一组前提R推出B，那么，可以从这组前提推出（A→B），这条规则为C·P规则。即：R∧A → B 与 R →（A→B） 是等值的，写成公式：

R ∧ A → B  ↔  R →(A→B)  

C·P规则（输出律）的证明：

R → (A→B) ↔ ￢R ∨ (A→B) ↔ ￢R ∨ (￢A ∨ B) ↔ (￢R ∨ ￢A) ∨ B

↔ ￢(R ∧ A) ∨ B ↔ R ∧ A → B

即：R →(A→B)   ↔  R ∧ A → B

上述证明应用了：

实质蕴涵律：p→q ↔ ￢p ∨ q

德摩根律：￢(p ∧ q) ↔ ￢p ∨ ￢q

                  ￢(p ∨ q) ↔ ￢p ∧ ￢q

结合律： p ∨ (q ∨ r) ↔ (p ∨ q) ∨ r

               p ∧ (q ∧ r) ↔ (p ∧ q) ∧ r

其他定律请见“【逻辑学知识】重言蕴涵式和重言等值式” http://blog.sciencenet.cn/blog-626289-889429.html

四、例子

例1

在自然推理系统中构造下面推理的证明 :  

前提 :  p∨q， q→r， p→s，￢s  

结论 :  r∧(p∨q)  

证明 :  
①  p→s                p规则 前提引入      
②  ￢s                   p规则 前提引入          
③  ￢p                   T规则①②  (p→s)∧￢s→￢p    
④  p∨q                p规则 前提引入              

⑤  q                      T规则③④析取三段式       

⑥ q→r                 p规则 前提引入       

⑦   r                      T规则⑤⑥  假言推理  （q→r）∧q → r      

⑧  r∧(p∨q)          T规则④⑦ 合取，得证。 

例2

在一起案件中，侦查人员了解到如下一些情况：

（1）甲和乙不同时作案；

（2）如果丙作案，那么乙也作案；

（3）如果丁作案，那么甲也作案；

（4）或者戊和己不同时作案，或者丙作案。

据此，侦查人员做出推断，如果丁和己一同作案，那么戊不会作案（即要得出s∧u→￢t ）。

问：这一推断正确吗？

解：用符号表示如下命题：

p：甲作案

q：乙作案

r：丙作案

s：丁作案

t：戊作案

u：己作案

推断如下：

（1）甲和乙不同时作案          ￢(p∧q)                  p规则 前提引入

（2）如果丙作案，那么乙也作案     r→q                   p规则 前提引入

（3）如果丁作案，那么甲也作案     s→p                   p规则 前提引入

（4）戊和己不同时作案或者丙作案  ￢(t∧u) ∨r              p规则 前提引入

（5）如果丁和己一同作案          s∧u             假定前提引入

（6）丁作案                         s             T规则(5)

（7）甲作案                         p             T规则(3)(6)

（8）甲不作案或者乙不作案     ￢p∨￢q            T规则(1)  德摩根律

（9）乙不作案                   ￢q               T规则(7)(8)

（10）丙不作案                 ￢r                T规则(2)(9)

（11）戊和己不同时作案      ￢(t∧u)              T规则(4)(10)

（12）戊不作案或者己不作案   ￢t∨￢u             T规则(11)  德摩根律

（13）己作案                         u                T规则(5)

（14）戊不作案                    ￢t                  T规则(12)(13)

（15）那么戊不作案                s∧u →￢t              C·P规则(5)(14)

所以，侦查人员的推断正确。  

例3

在自然推理系统中构造下面推理（复杂构成式二难推理）的证明 :
（p→q）∧（r→s）∧（p∨r） → （q∨s）  

证明 : 用归谬法

①  如果 ￢（q∨s）     p规则 假设前提引入       　　
②  ￢q∧￢s             T规则 ① 德摩根律            　　
③  ￢q                     T规则 ② 简化律  　　
④  p→q                  p规则 前提引入      
⑤  ￢p                     T规则③ ④  假言推理（否定后件式）
⑥  ￢s                      T规则 ② 简化律
⑦  r→s                   前提引入              
⑧  ￢r                      T规则⑥ ⑦  假言推理（否定后件式）
⑨  p∨r                   前提引入  
⑩  r                         T规则   ⑤ ⑨ 析取三段论
⑾  p                        T规则 ⑧ ⑨析取三段论 
⑿  ￢r∧r  ， ￢p∧p      T规则⑧ ⑩合取， T规则⑤ ⑾合取 
⒀  那么（￢（q∨s） →（￢r∧r））  →   （q∨s） C·P规则①⑿

从假设前提￢（q∨s）推出相互矛盾的命题￢r∧r，得出q∨s为真的结论。

和数学一样，形式逻辑学提供一般的推理方法，这些方法可以应用于各门学科。

正在尝试应用自然推理系统于化学教学之中。

例4

（1）工业上可用组成为K2O ∙ M2O3 ∙ 2RO2 ∙ nH2O的无机材料纯化氢气。

         ①已知元素M、R均位于元素周期表中第3周期，两种元素原子的质子数之和为27，则R的原子结构示意图为        。

解： 推理过程如下：

（1） 有K2O ∙ M2O3 ∙ 2RO2 ∙ nH2O   （P规则 前提引入）

（2） 得 M2O3 和 RO2                       （T规则 由1）

（3） 有O2-                                             （前提引入）

（4）有电中性规则               （前提引入）

（5） 得 M3+  和  R4+                        （由 2、3、4）

（6）有第三周期元素Na(11，1+)，Mg(12，2+)， Al(13，3+)，Si(14，4+)，
P(15，3+，5+，3-)， S(16，2-，4+，6+)，Cl(17，1-，1+，3+，5+)，Ar(18，0)           （前提引入）

（7） 元素M、R均位于元素周期表中第3周期      （前提引入）

（8） Z(M) + Z(R)  = 27                   （前提引入）

（9） 得 M = Al 和 R =Si                  （由5，6，7，8）

（10）有Si的原子结构示意图如下图   （前提引入）

（11）得R的原子结构示意如下图     （由8、9）

这样形式的解题应该有助于清晰学生思想过程。

实际上，我们很多的日常工作应用的就是自然推理系统。

自然推理和公理化推理不同，它不预设公理，只是根据规则（逻辑规则和学科规则，逻辑学不管学科规则），从给定的前提命题出发推出结论命题。

至今中国还没有人应用公理化方法建立过理论体系。