重言蕴涵式和重言等值式

1-8为重言蕴涵式：

9-18为重言等值式：

形式逻辑学的合式公式数量无限多。其中重言的蕴涵式刻画因果关系，是有效推理形式。而重言等值式更刻画双向推理。

除了上述列表的常用的公式以外，还有一些常用的有名称的公式：

19. 同一律：  p→p

20. 排中律：  p∨￢p

21. 矛盾律：  ￢(p∧￢p)

22. 归谬律： (p→(r∧￢r))→￢p

23. 加元律：  p↔(p∧(q∨￢q)

                 p↔(p∨(q∧￢q)

(符号￢和～都表示否定、“并非”)

德摩根律（DM）应用的例子：
这个商店的商品物美并且价廉。（p∧q）
并非这个商店的商品物美并且价廉。～（p∧q）
等值于：这个商店的商品或者物不美或者价不廉。～p∨～q

以逻辑运算的形式表达思想，其确定性和保真性之高可想而知。

德摩根律证明（真值表法）：

二难推理的四种形式：（符号顺序与5有所不同）

其中，第一为简单构造式，第二为复杂构造式（同5），第三为简单破坏式，第四为复杂破坏式。

实质蕴涵律（15）证明（真值表法）：

特征：p→q，前（p）真后（q）假为假，（￢p∨q）为假。

换位律（14）的证明（真值表法），充分条件假言命题（蕴涵式）与其逆否命题等值：

自然推理，就是从给定的前提出发，运用上述推理的有效式即根据推理规则进行的推理。自然推理和公理化推理不同，它不预设公理，只是根据规则，从给定的前提出发得出结论。

例： 在自然推理系统中构造下面推理的证明 :  
        前提 : p∨q, q→r,  p→s, Øs  
　　  结论 :  r∧(p∨q)  

证明 :  
　　①  p→s                 前提引入      
　　② Øs                    前提引入          
　　③ Øp                    ①②假言换位律（trans）        
　　④  p∨q                 前提引入        

      ⑤  q                      ③④析取三段式 （DS）

      ⑥  q→r               前提引入 

      ⑦   r                      ⑤⑥假言推理肯定前件式（MP）

      ⑧  r∧(p∨q)            ④⑦ 合取律（Conj）

证毕。

把有具体内容的命题赋予命题变量，就构成了有内容的推理。

例：  在自然推理系统中构造下面推理的证明：

若数a 是实数（p），则a 不是有理数就是无理数，要么是有理数，要么是无理数[（q∨r） ∧Ø（q∧r）]（异或）。若a 不能表示成分数（Øs），则它不是有理数（Øq）。a 是实数且它不能表示成分数（p∧Øs ），所以a是无理数（r）。

解： 令  p：a是实数； q：a是有理数；r：a是无理数；s：a能表示成分数。  

　　前提： p→(q∨r) ∧Ø(q∧r)，Øs→Øq，p∧Øs  
　　结论 :   r  
　　证明 :  
　　　　①   p∧Øs                                     前提引入        
　　　　②    p                                             ① 简化律（Simp）              
　　　　③   Øs                                          ① 简化律（Simp）          

　      ④    p→(q∨r)∧Ø(q∧r)                前提引入  

              ⑤   q∨r ，

                  Ø(q∧r)                                 ②④假言推理肯定前件式（MP） 

              ⑥   Øs →Øq                              前提引入  

              ⑦   Øq                                         ③⑥假言推理肯定前件式（MP）    
              ⑧    r                                       ⑤⑦析取三段论（DS）

q：a是有理数；r：a是无理数，q和r不能同真，a要么是有理数，要么是无理数。