设$V$是一个$n$维内积空间,且$T:V\to F$是线性泛函.设$\alpha=(v_1,v_2,\cdots,v_n)$是$V$的一组标准正交基.且$T(v_1)=x_1,T(v_2)=x_2,\cdots,T(v_n)=x_n$.则对于$V$中的任意一个向量$v=a_1v_1+a_2v_2+\cdots+a_nv_n$来说,$T(v)=a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n$.我们可以把$T(v)$看成向量$v$和向量$w$的内积$\langle v,w\rangle$,其中$$w=\overline{x_1}v_1+\overline{x_2}v_2+\cdots+\overline{x_n}v_n.$$这样子,我们就可以把$V$上的任何一个线性泛函对于$V$中任意一个向量的作用表示成该向量与某个特定向量的内积.这就是Riesz表示定理.