很高兴和大家一起来分享数学模型之美。

今天我和大家谈的是数学模型的结构之美。

这讲我们分四方面的内容

第一个内容我们来谈谈数学模型的结构体现着自然之美。

我们知道，数学模型是由数学的符号、关系式、由数学概念、数学关系组成的一种结构。

提到结构你会想到很多的概念，

比如说，数据结构，文章结构，人体结构等等。

结构本身就具有着丰富的美学表现力。

美国建筑大师赖特说：“建筑是用结构来表达‘思想’的‘科学’性‘艺术’”。

建筑结构是“可视的”，富有表现力的，许多美轮美奂的建筑我们看上去非常美，

但是，数学结构之美怎么来体现，数学的结构美怎么样在建筑的结构当中体现呢？

理查德·帕多万曾经这样说：我们作为自然的一部分，与自然有着天生的亲和力，并且具有认识和解释自然的能力。

在数学界，有这样的一种看法是——数学是自然所固有的，并通过人的理性“提炼”出来的

这个学派的代表人物是英国的数学家、哲学家培根。

培根说过这样的话：“一切都依赖于我们把眼睛紧紧盯在自然界的事实之上”。

这也叫自然派，也叫自然学派。

按照培根的说法，数学家通过周游世界来了解自然，从而搜集事实，揭示大自然的规律，归纳出自然的法则来。

因为自然的结构是美丽的，所以，这种描述自然规律的数学模型的结构也必然十分美丽。

基于这样的思想，我们需要从五彩缤纷的自然现象中来发现规律，构造出描述这种规律的数学模型。

众所周知，达芬奇的身份是画家，但他自认为是一位数学家。

他这样评价数学到：“在科学中，凡是和数学没有联系的地方，都是不可靠的”。

我们来看一看自然界当中哪些事实反映着我们比较熟悉的一些数学的结构呢？

先看看丹顶鹤的飞行模式。

丹顶鹤总是成群结队的迁飞，而且排成“人”字形。“人”字形的角度是110度更精确地计算表明这个“人”字形夹角的一半——就每边与鹤群前进方向的夹角是54度44分8秒；

而金刚石结晶体的角度正好也是54度44分8秒，那么这是否符合某个大自然的“默契”。

大家想一想，丹顶鹤在飞行的时候，它一定要最少的减少身体的损耗，而且要和头鹤保持着一个密切的联系，对不对？

而金刚石它是我们世界上最坚硬的物质，他的角度都是这样的一个角，这是否是大自然给我们的一种默契。

自然界还有很多很多实例，比如珊瑚虫，我们把它叫做一个数学天才，他自己构造了一个奇妙的模型，珊瑚虫在它自己身上记着“日历”呢，它们每年的每一天要在自己的体壁上“刻画”一条斑纹所以现在的珊瑚虫身上一年的斑纹就是365条

但是奇怪的是，古生物学家发现在3亿5千万年前的这个珊瑚虫它每年画出来的不是，是多少呢？400条。于是科学家就分析，可能那个时候地球一年不是365天，很可能是400天。

在自然当中还有一个重要的数，叫黄金分割数，它在来自于人体的比例。

比若说，如果把我们人体的身高当做一个整体1的话，那么在肚脐的部位、印堂穴的部位、肘关节的部位、膝盖的部位都恰到好处的是我们叫做黄金分割点的位置。

什么是黄金分割呢？就是任意一个线段，分割成两段的时候，大段比全段等于小段比大段，这样会得出来一个比例值，这个比值在这个线段上边它会提供给我们一个点。这个位点，我们通常就管它叫黄金分割点。

比如说我们设大段的长是x，这样的话整体1的话，小段长就成了1-x，是吧，于是可以得到一个比例式，解出来的x就是0.618。

同样在自然界的树木、花朵、蔬菜的枝杈还有花瓣、叶茎它们之间都隐藏着一个重要的角度，如果把360度当成一个整体，这个周角，那么137.5度就符合0.618的比例，我们也把他叫做黄金角，黄金角有什么作用呢？它可以使植物最好地进行光合作用。

好，现在我们来讲第二个问题比例模型在建筑中的重要应用。

我们知道建筑是人类文明的载体，是人类智慧的结晶，是人类生存的基本活动之一。

我们每到一处，总愿意在一些非常漂亮的建筑面前留个影，做纪念，建筑确实是记载着我们人类每个年代的历史文化政治经济等等。

数学比例理论认为，建筑是一种具有数学和谐的抽象艺术。

建筑作品虽然基于不同的数学原理，但都强调符合比例的要求。

在这个建筑当中，我们知道黄金分割是一种重要的特例。

古希腊巴特农神殿，现在它已经坐落在沙漠之中了，它的塔高与工作厅高之比为340比553，接近于黄金分割比，它的结果0.615。

因为毕竟经历了千年风霜雨打，在磨损当中也许存在着一些误差，所以这个0.615让我们感觉到它的外形的高和宽比较接近黄金分割数。

巴特农神殿看上去依然那样的壮丽，它的大理石的栏柱高和神殿高之比也接近黄金分割数，在这座建筑当中蕴藏着许多数学比例的美。

伟大的建筑师勒·柯布西埃曾经这样说：“巴特农给我们带来确实的真理和高度数学的感受”。

古埃及的金字塔，是留给我们后人的一个千年之谜，历经了几千年，风霜雨打，巍然屹立，蕴含了数与形的真谛，有着严格而精确的比例设计。

金字塔的高度大约有今天的40多层楼那么高，这项纪录，其中保持着4500多年，直到1889年，被300米高的法国的埃菲尔铁塔超过。

埃菲尔铁塔像一个巨人屹立在世界上，当时是为法国大革命纪念100周年，举办了国际博览会期间所建立的这样的一个，它的塔高是300米，在距离地面的57米、115米还有276米处，都各建有一个平台，计算表明，这个300减掉115再去除300得出来的一个结果是0.617，与黄金比0.618十分接近。

所以，人们赞誉埃菲尔铁塔是“钢铁维纳斯”，我们知道维纳斯是女神，女神有着非常美的身材的比例。它的身材符合黄金分割比。

在那个时候，似乎还不像现在中西方文化交流非常的发达，但是，在中国的古代建筑当中，也体现着黄金分割的思想。

我们知道，中国古代建筑它的传统审美观点是庭院为中心。我们以紫禁城为例来说明：

紫禁城太和殿是最重要的一个建筑，它在中轴线上，如果我们从大明门到景山这个尺度上去对它衡量的话，从大明门到景山的距离是2.5公里，从大明门到太和殿的庭院中心是1.5045公里，两者的比值是0.6018。在紫禁城最重要的宫殿太和殿里，它的太和门庭院深度是130米，它的宽度是200米，长和宽之比是0.65，非常接近黄金分割比。

很神奇，在古代并没有现在这样的改革开放文化交流，那么，为什么西方也喜欢这样的一个比例，我们东方在中国建筑风格当中也有这样的一个美好的比例呢？

这只能说，我们人类有着崇尚自然之美的天性，而0.618就恰好的反映着人们追求自然之美的这样一种向往。

图片上我们可以看的到紫禁城的太和殿，它确实是位在中轴线上，整个建筑特点是井井有条，以前人们似乎觉得，为什么这条路这么远，是不是让人们朝拜的时候，使得这个皇家更有威严感呢，现在我们从数学上解释，这个太和殿为什么设计在这个位置，因为它接近黄金分割比，我们就从数学美的角度理解了古代建筑的设计思想。

美丽的黄金分割比例有着天人合一的合理性。所以说比例是美好的，因为它们与自然规律是一致的。所有较高的文明都相信一种基于数于数之关系的秩序，并且在普遍的、自然与人类生活之间寻找和建构一种和谐，这通常是一种想象的和神秘的和谐之美。

伟大的勒·科布西耶在《模度》里这样的指出：“数学规律不仅仅是对美的一种规定，甚至也不是我们人类用来理解世界的手段，而是宇宙自身的核心或主导性的原理，自然的、艺术的，统一与和谐之源。”

所以我们中国古代的哲学思想，有这样的一句话“大美天成”，在数学界自然主义学派也告诉我们，正是自然界当中存在着这样的玄机，这样的神奇，所以引领着科学家、数学家们去发现隐藏在数学中的结构，进而在建筑设计中体现这种结构，就向我们展示了建筑当中的自然之美，也向我们展示着建筑当中的数学结构的美，这就是比例模型所告诉我们的。

赫尔曼在他著名的《对称性》一书里指出：“一种隐匿的和谐存在于自然，它以一种简单的数学规律的图像，投射到我们的大脑之中。数学分析和观察的结合之所以能够对自然中所发生的事件进行预测，原因即在于此。”

数学比例模型从古希腊时期开始，始终占据着建筑的主导地位，或者说统治地位。牛顿建立了万有引力模型之后，数学比例模型受到了挑战，许多新的数学思想产生确实在对建筑发生着深刻的影响，但是优美的比例模型为建筑所提供的这种尺度感、秩序感，仍然是建筑设计中重要的造型手段和建筑师的灵魂之源。

再谈一谈下一个问题：新颖的数学模型会打造优美的建筑结构。

在数学界还有另一种观点，数学是人们为了测量自然而强加于自然的一种人类精神的产物，是一种纯粹的人造物，一种符号体系，以及操纵它们的规则。

基于这种“数学”的思想，形成了教条主义的门派，它的代表人物是法国的数学家，我们知道，大名鼎鼎的笛卡儿。按照笛卡尔的想法，数学家应该是呆在家里，冥思苦想、奇思妙想，演绎自然规律，去按照逻辑规则来演绎宇宙的规律。

我们数学科学就在这两种对立的文化传统当中通过着相互交流、影响大大地丰富和发展起来，两者的结合取得了数学上惊人的成果。

数学模型恰恰就是这两种数学文化结合的幸运儿。

数学模型既有着培根派心向自然、面朝大海、春暖花开的自然之美，又有着笛卡尔派的“我思故我在”的抽象之美。

以数学模型在建筑中的运用，也可以折射数学模型的结构之美。

古今的建筑设计当中，许多抽象的数学模型经常为建筑师所用。

太阳是圆的，从而有抽象的圆。

矩形是我们人头脑中抽象出来的一个概念，是我们人类抽象出来的概念。棱锥、角、棱柱、比例、黄金分割、抛物线、悬链线、立方体、双曲抛物面、多面体、短程式的圆顶、三角形、勾股定理也叫毕达哥拉斯定理、螺线、正方形、矩形、平行四边形、圆、半圆、球、椭球、半球、多边形、排列、组合、对称、动态对称、最大、最小。

这些抽象的数学模型数学概念都在建筑师设计的建筑作品中反映出来。

建筑的造型给我们带来的这种可视化的美，确实是具有冲击力的，而数学模型的美，它似乎在可视化程度上比较抽象，但是我们恰恰从它的简洁之美，从它的奇异之美，从它的对称之美等等，体会到了数学模型确实是美的。

圆、矩形、拓扑等价的连续变形这些抽象的概念在建筑中都展示到了极致之美。  

巴特农神庙的构造用到了比例、黄金矩形、视幻觉还有精密测量以及按准确的规格切割圆柱，它的这个直径正好是柱高的三分之一。

古罗马时期的建筑，继承了古希腊文明的成果。充分的运用了对称、半圆形拱券、逐层挑出的门框、装饰、交叉拱形结构等等。

拜占庭时期的建筑师他们将正方形、圆、立方体和带着拱的这样的半球等等，都优雅地组合起来。比如十一世纪的康斯但丁堡的圣索菲亚教堂。

在文艺复兴时期，这也就到了公元1300年到1600年之间，这个时候，

数学学科有了重大的发展，韦达的符号代数学，还有雷格蒙塔努斯的三角学，还有笛卡儿的解析几何学、费马的极值和数论等等。

还有帕斯卡的概率论基本原则，和绘画中的透视法，使得多才多艺高雅博学的建筑师们，基于对中世纪神权至上的批判和对人道主义的肯定，希望借助古典比例模型，来建造反映社会和谐与秩序的新颖建筑。

现代建筑更加广泛的采用了一些现代数学的思想。

比如充分利用了拓扑等价性，通过拓补连续变形，使每个基本模式都产生了无穷无尽的变化。

通过计算机算法、拓扑等价的连续变形等这些思想，使得建筑模型更加多姿多彩、无与伦比。

所谓的拓扑等价，就是通过连续变形，将其中的一个变成另外一个。

例如，圆柱与四棱台是拓扑等价的。

在建筑中就利用这拓扑等价性，通过连续的变形，可以使每个基本模式产生无穷无尽的变化形态。

举个例子。巴黎的德方斯大门的空心方框拓扑等价于环。

位于西班牙的毕尔巴鄂古根海姆美术馆分馆的各个块也都经过了拓扑变形，利用计算机进行了复杂而精确的计算。

运动中对称的思想也被运用到建筑设计中去。这些运动都是变换。这些变换共同的特点是什么呢，保持平面上任意两点间的距离不变。我们管它叫 “保距变换”。

保距变换通常是有三种，反射、旋转、平移，以及它们之间的相继实施统称为“保距变换”。

阿尔菲诺·劳达尔曾经说：“数学不仅仅是数字，它更是艺术。在没有被表达出来之前，大多数数学概念不是建立在逻辑基础上的，而是直觉与美。”

数学模型的结构美就是其所各个构成部分看上去都是均匀的、不能再增减一笔或者改变半分。

现代社会，计算机使人类生活发生了根本性的改变。同样在建筑设计领域当中，计算机也使得建筑更加多姿多彩。

今天是数字化信息时代，绿色建筑、生态建筑、智能建筑在世界各地应运而生，“大美天成”。

在荷兰的鹿特丹有著名的城市仙人掌建筑，这是一个著名的绿色建筑，错落有致的曲线阳台像开放的花瓣，由于符合着黄金角，所以使得每个单元都能够得到足够的阳光。

美国现代建筑学家托伯特•哈姆林他对现代建筑结构提出的这样的美学法则：第一是统一，第二均衡，第三比例，第四尺度，第五韵律，第六布局中的序列，第七规则的和不规则的序列设计等等。

这些美学规则直接影响着现代建筑结构的美。

谈谈数字建筑。

数字建筑是“高技术和高速度建筑”的代名词，它的核心是充分利用现代数字化技术进行建筑设计和建造。

计算机数字系统使的我们处理大量的建筑数据资料变得快捷而且低成本。

建筑软件也成为我们思考和理念的媒介。再一次验证了我们今天的世界是“数字的”

美国学者Brian 教授说：“很多现代的技术都是数字的，外部世界的数据会转化为数字形式。”

随着数字技术的发展，数字化已经渗透到了我们建筑过程的每个阶段。

建筑对数字技术的依赖也越来越明显，已经实现了用电脑进行绘图，将人工智能应用到建筑设计之中。

各种造型别致的，你想象着很有冲击力的建筑在我们世界各地应运而生。

数字建筑它的设计过程是：从建筑设计的起点开始，对周边环境特征、人的活动行为等信息进行数据采集和整理，进行数字化的描述，这些信息成为了计算机参数化的依据，成为了建筑形态形成的基础。

有了这些基本的设计参数关系之后，我们就可以通过相应的计算机软件来建立数学模型、找到某种参数关系从而生成建筑模型。

比如位于西班牙的毕尔巴勒古根海姆美术馆分馆，它的各个块都经过了拓扑变形，利用计算机进行了复杂而精确的计算。

随着计算机技术的迅速发展，现在的数字建筑就更加奇异，更加美好。

非线性数学研究导致了非线性建筑的产生，这种建筑造型更加浑然一体，更加多姿多彩。

大胆采用了分形、折叠、拓扑等形态都融入到数字建筑设计当中。

这里特别值得一提的是扎哈·哈迪德。

曾经攻读数学系的世界著名建筑设计师扎哈·哈迪德，她的建筑设计就运用了数学中的扭曲的概念，她尝试着用扭曲现实来挑战地心引力。

意大利米兰的外形扭曲的写字楼、中国广州的歌剧院、德国斯特拉斯堡电车站、丹麦哥本哈根的艺术博物馆、美国辛辛那提艺术博物馆，还有伦敦2012年水上运动中心，都出自于哈迪德之手。

中国广州的歌剧院就是哈迪德的建筑作品。

哈迪德的现代主义作品，基于新的结构、新的视点，诠释新的认知并转化为现存造型的重组。她的建筑思想向人们展示的是原野如何越过山丘、洞穴如何蔓延展开、河流如何蜿蜒流淌、山峰如何引领方向。她所追求并塑造的是具有对立统一的从自然环境中产生的空间。

建筑是什么，建筑是我们人类从自然中暂时借来的空间，在哈迪德之手，这个借来的空间就更加奇异纷呈。哈迪德设计的伦敦2012奥运会水上运动中心，流动着是一种贴近自然的浪漫品味。

她说，当你调动一组几何图形时，你便可以感受到一个建筑开始形成并运动起来。

 美国建筑资深评论员艾达·路易斯·赫克斯特布尔他曾经这样高度评价了哈迪德的作品，他说：“哈迪德改变了人们对空间的看法和感受”。

空间在哈迪德的手中就像橡胶泥一样，任意改变形状。

哈迪德在2004年获得了世界顶尖的建筑大奖普利策奖。

建筑和数学就是这样相互着渗透，为数字建筑的发展注入着创新的元素。

目前，电脑的智能性、高速运算能力、高精确性、存储能力还有自动检测能力，还有广阔的发展空间。

从这个角度来看，在古希腊时伟大的哲学家毕达哥拉斯曾经说过的“万物皆数”思想让我们体会现代建筑设计无非就是一个数学建模的过程，一幢幢美轮美奂的建筑折射着的是数学模型的结构之美。

这是我的一个数学文化讲座的内容，请指正。