数学模型之美——1

我接触数学模型是从一本书开始的。那时候，还是改革开放的初期，翻译者们带回国《数学模型》这本书，在科学的春天里着手翻译工作。当时计算机还是个奢侈品，我还是一个初中生，很荣幸地为他们抄写翻译手稿。

是这本书，让我对数学模型产生了极大的兴趣，并引领着我学习数学模型并喜爱数学。

1999年，我首次在我校开设数学模型相关课程，受到了同学们的热烈欢迎。

这些年来，与10多届的学生们在数学建模活动中建立了深厚的友谊。

现在，越来越多的学生喜欢数学模型，他们积极地参加全国大学生数学建模竞赛等各种数学建模活动，并且取得了优异的成绩。

获得全国大学生数学建模竞赛一等奖的吕金鹏、李一凡和李晓男同学在总结里写道：“数学建模让我们看到了数学解决问题的魔力，体会了一种震撼心灵的美。”

二等奖获得者宋延丽同学说：“用勇气去改变可以改变的，用包容去接受不能改变的，用智慧去区分两者的区别。别人的成果只能借鉴，按照自己的想法做出新的东西。做出我们自己的东西就是胜利。”

江文华同学说：“想象世界上一个有你，一个没有你，让两者的不同最大，这就是建模教给我的”。

 魏渝沁同学说“建模是艰苦的锻炼，终生难忘！无论遇到什么困难，我相信都能过去。真正全身心认真投入地做事，绝不放弃！数学建模让我感到数学无处不在。”……

相信通过本课程的学习，我们一定会进一步了解数学模型的思想和方法，并了解数学模型为推动人类文明的发展和科技进步所起的巨大的作用。从而拉近我们和数学的距离，深刻体会数学模型的重要价值。

一、首先讲讲数学模型在数学这门浩瀚的学科中所扮演的角色。

先谈谈什么是数学？在数学发展的不同阶段，人们给它的定义是有区别的。

在古希腊时期，数学一词是指通过学习获得的知识。

现在，我们普遍接受的数学定义是：

数学是研究空间形式和数量关系的科学。

所以说，数学是一门既古老又现代的学科。

它是受广泛的文化及社会政治、经济和科技发展的影响而逐步形成的体系。

博大精深的数学有三个特点：第一是它的抽象性，第二是它的精确性，第三是它的应用的广泛性。

由于几千年的抽象化，使得人们头脑里的数学似乎就是枯燥的数字、符号、公式和定理，这影响了许多人对数学的看法。也使许多人对数学望而生畏。

我们常常听到人们的疑问“数学有用吗？”这个问题可能影响着你学习数学的态度。

美国数学家克莱因（Kline , 1908年—1992年）曾经说过：“一个时代的总的特征，在很大程度上与这个时代的数学活动密切相关，在今天我们这个时代尤为重要。”他又说：“数学不仅是一种方法，一种语言，一种艺术，数学更主要的是一门有着丰富内容的知识体系，它的内容对自然科学家、社会科学家、哲学家、逻辑学家和艺术家十分有用，同时，影响着政治家的观点。数学已经广泛地影响着人类的生活和思想。”

其实，数学不仅重要而且就在我们的身边。

有这样一个问题：一辆汽车在拐弯处急刹车，结果冲到了路边的沟里，交警赶到现场时，司机申辩说，他进入弯道时刹车失灵。他说当时他进入弯道时的车速大约是64公里/小时。验车发现该车的制动器在事故发生时确实失灵，那么，司机有没有超速呢？要想鉴定司机所报车速的真实性，数学建模就能够回答。

现在我们就从什么是模型谈起。

我们知道，模型无处不在。例如，汽车模型、飞机模型、人体模型、建筑模型等等。

模型是原型的替代物，是为了某个特定目的对原型的简缩、模仿和提炼。

那么，什么是数学模型呢？

数学模型是针对现实世界的特定对象，为了一定目的，进行必要的简化和假设，运用数学的符号、关系式等，概括表达问题的数量关系和空间形式的一种工具。

作为一种思考和解决问题的方法，数学模型或者能够解释特定现象的现实性态，或者能够预测所研究问题的未来发展状况，或者提供处理实际问题的最优决策。

数学模型属于应用数学，它涉及到纯数学与其他学科的交互作用。

数学模型其实也并不是新生事物，可以说有了数学，就有了数学模型。

但是，近些年来，随着科技的迅猛发展，特别是计算机的广泛运用，

数学模型这个分支更加活跃起来。

可以这样说，数学模型是联系数学和实际问题的桥梁。

值得注意的是，数学模型与我们以往学习的纯数学理论在研究内容、研究方法和研究结果方面，还是有一些区别的。

数学理论的研究内容是：对象的共性和一般规律；

数学模型的研究内容是：对象的个性和特殊规律；

数学理论的研究方法是：按照一般原理，考察特定的对象，演绎推理，导出结论；

数学模型的研究内容是：根据个别现象，将所得到的信息进行翻译、归纳，求解、演绎，给出该问题基于数学意义的解决方案。

数学理论的研究结果是：经过严格的证明，结果通常是正确的、精确的。

数学模型的研究结果是：受假设和简化的影响，结果通常带有误差，需要进一步修正、检验和完善。

二、谈谈数学建模。

数学建模就是建立数学模型的全过程。比如，前面提到的司机是否违章驾驶的问题，就是一个简单的数学建模问题。

数学建模就是对某个特定对象，通过对各种素材、信息加以取舍、选择，分析研究对象主要因素之间的内在关联，利用适当的数学原理，对主要因素作新的有用的组合，从而反映与建模目的相适应的事物的本质规律，形成以新的组合为框架的数学结构。

数学建模是一种创造性活动，是为了解决因社会发展的需要而提出来的各种问题。

数学建模的方法主要有——

机理分析法：根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律。

测试分析法：将对象看作“黑箱”，通过对量测数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型。

综合分析法：用机理分析建立模型结构，用测试分析确定模型中的参数。

数学建模主要针对实际案例开展研究 (Case Studies)。

因此，建模时首先要了解实际背景、明确建模目的、搜集有关信息、掌握对象特征。

一般来说，数学建模的过程包括以下几个步骤：模型准备、模型假设、模型构成、模型求解、模型分析、模型检验、模型的改进及应用，等等。

数学建模通常是比较复杂的，这里我们只解释其中的两个环节：

简化——数学模型反映了研究对象在量的方面的某种本质特征，从量的方面描写自然、社会的具体事物和现象。

数学建模的关键就要是要抓住主要矛盾，揭示事物和现象内在的数量规律。

也就是说要抽出影响特征的主要因素，抛弃次要因素。

如果我们考虑的因素太多，模型太复杂，就不易处理；如果舍去的东西太多，模型虽然简单，又可能不符合实际。所以取舍或选择要力求抓住主要矛盾，反映事物的本质。

假设——假设也是建立数学模型的一个重要步骤。有时候，假设是理想化的，是为了处理问题的方便提出来的。

通过假设把对象相应的性质近似的刻画出来，进而反映它的本质。

必须强调的是，假设必须有足够的合理性。如果假设超出客观实际和常识太远，就会“不靠谱”了，常常会导致做出的数学模型没有意义，没有价值。

数学建模的具体步骤还有很多，这里我们不多讲。

值得一提的是，数学建模是从问题开始的，提出问题、收集信息十分重要。了解相关学科的背景知识也必不可少。

可以说，没有长时间的数学思维训练，没有广博的数学知识，没有严格的治学态度，没有一定的数学建模训练，是很难做出优美的数学模型的。

三、关于数学美。

你或许会问，数学是科学，怎么和美有关系呢？

进入21世纪以来,随着数字化信息时代的到来，许多世界一流的数学家看到了数学理论的审美价值，体验到美学方法在数学研究中有着重要的作用，是人的意志、智慧、激情或者说人的本质力量的显现，从而情不自禁的讴歌数学美，引领人们热爱数学。

所以，我们有必要以美的方式来解读数学、学习数学、热爱数学。

先谈谈什么是美？

所谓美就是其所有的各个构成部分都均匀、不能再增减一笔或者改变半分。美就是一种与世界之普遍和谐的一致。

生活中，美的东西很多，有美丽的花、美丽的人、美丽的山川、美丽的建筑。

那么，什么是数学美？

我们听听数学家怎么说。

哈代（Hardy，1877年—1947年）说：“数学家的模式，就像画家或诗人的模式一样，是充满美感的；数学的概念就像画家的颜色或诗人的文字一样，一定会和谐地组合在一起。美感是首要的试金石，丑陋的数学在世界上是站不住脚的。”

罗素（Russell，1872-1970）说：“数学，如果正确地看它，不但拥有真理，而且有至高的美，这是一种庄重而严格的美，这种美不是投合于我们天性中的脆弱的方面，而是纯净到了崇高的地步，能够达到严格且只有最伟大的艺术才能显示的那种完美的境地。”

克莱因在《西方文化中的数学》一书中强调，“作为一种宝贵的、无可比拟的人类成就，数学在使人赏心悦目和提供审美价值方面，至少可与其他任何一种文化门类媲美。”

前面提到，我们常常把美和艺术联系起来。是的，艺术作品追求美的表现，比如，一首诗、一幅画常常能激起我们心灵的美感。

庞加莱（Poincaré，1854年—1912年）指出：艺术选择那些最能使艺术形象完整并赋予个性和生气的事实。科学总是选择最能反映宇宙和谐的事实。

伟大的爱因斯坦（Einstein，1879年－1955年）说，人们总想以最适当的方式来画出一幅简化的和易领悟的世界图像。于是他们就试图用他们的这种世界体系来代替经验的世界，并来征服它。

这就是数学家、哲学家和自然科学家所做的工作。他们都按自己的方式去创造美的作品，当然也包括数学模型。

所以说，数学美和艺术美十分相似。事实上，数学在很大程度上也是一门艺术。

数学和艺术都在恰到好处近似地描绘着我们这个多姿多彩的世界。

和创造一个有魅力的艺术作品一样，数学模型也是一种创造，而且必须符合美学的原则。

所以，数学模型之美，就表现在建立这个数学模型的过程之中，它的每个环节都在向我们展示着它的简洁之美、抽象之美、对称之美、奇异之美、结构之美、统一之美，等等。

四、谈谈思维方法。

数学建模，目的是数学来解决实际问题，就像解决“一题多解”的应用题。

不仅需要数学知识和相关学科领域的背景知识，数学思维也是建立数学模型和解决实际问题的重要基础。

先谈谈联想和想象——

联想是从一个事物想象到另一事物的心理过程。

想象是人们对头脑中感知的形象、表象，加工改造成新形象的心理活动。

可以说，没有联想和想象就没有创造。

唐代诗人李贺《梦天》中有这样一句诗“遥望齐州九点烟，一泓海水杯中泻”、李白《望庐山瀑布》中有著名的诗句“飞流直下三千尺，疑是银河落九天”，这些诗句都极富想象力。

齐白石有一幅名画：“蛙声十里出山泉”，背景是远山，近景是一片带有几只蝌蚪的从山间乱石中泻出来的急流，画面上我们虽然并没有看到一只大青蛙，却从湍流中活泼生动的小蝌蚪身上听见了十里蛙声。大师作画的时候，准确的捕捉了主题，把对象的形和神真实生动的表现了出来，展示了绝妙无比的想象力。

只有经过深入的、准确的分析，充分体会和掌握对象的特殊本质及其特征，才能创造出有魅力、有价值的作品。

开普勒通过计算，发现地球绕太阳运行的圆轨道存在较大的误差，从而联想到这个轨道应该是椭圆的。

维纳在麻省理工学院面对美丽的查尔斯河景色时，浮想联翩。这奔腾不息的波浪具有什么数学的规律性呢？于是就产生了维纳过程等数学模型。

谈谈直觉和灵感——

直觉思维是指对于一个问题未经逐步分析，仅仅依据内因的感知迅速对问题作出判断、猜想和设想，或者突然产生的“灵感”和“顿悟”，甚至对答案和结果的“预感”、“预测”。

数学和艺术都离不开直觉和灵感。

直觉是非逻辑的，是对事物一种直接的迅速的识别和综合判断。

西方现代舞之母伊莎多拉．邓肯（Duncan，1878年—1927年）曾说“我的舞蹈动作是从大自然的源泉中得来的，我的灵感从树林、云彩、海浪以及介于热情和山岚之间、或恬静与微风之间的共感而来。”

建立数学模型时，要紧紧抓住稍纵即逝的智慧火花——灵感。

谈谈发散思维——

发散思维也称为辐射思维、放射思维、扩散思维或求异思维，是指大脑在思维时呈现的一种扩散状态的思维模式。它表现为思维视野广阔，呈现多维的发散状。

这一点和绘画的布置或构图很相似。

中国画讲究大小相间、高下相倾、聚散相应、前后相通的和谐效果，追求意境的创造。

我们知道，对同一类事物的描写，有形式不同的艺术作品，这恰恰表现了艺术家各自的独具匠心、情感和风格。比如，

齐白石和毕加索都画过和平鸽，风格迥异；

张大千、刘海粟都画过山水画，却有不同的魅力。

以不同的数学方法观察和处理同一类问题，它们的数学模型构成也会各有千秋。

“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，这句诗可以用来形容从不同角度、用不同方法观察表现对象的数学建模效果。

谈谈抽象思维——

抽象是人类的一种高级的智慧。

是人们在认识活动中，运用概念、判断、推理等思维形式，对客观现实进行间接的、概括的反映。

数学模型构成的方法似乎更接近于强调表现的现代抽象艺术。

在一些现代艺术家眼里，艺术的目的就是把观众放在一种数学性质的状态中，即一种高尚的秩序的状态中。

人们高度称赞毕加索：世界上从来没有一位画家像毕加索那样有着惊人的坦诚之心和天真无邪的创造力。

牛顿（Newton，1643年—1727年）想象物体之间存在着超距的作用力。于是，他把偌大的天体抽象成质量集中在中心的一个质点，创建了万有引力模型。

总之，一个成功的数学模型，如果它是美的，那么首先就应该是真的、合理的，善的、有意义的，必须具有可靠性和适用性。

但是，数学建模时，我们也不必过于追求完美，只要在允许的误差意义下，在符合实际方面可以接受的情况下，就完成了这个数学模型的建立。

数学模型的广告词：“没有最好，只有更好”！

正如数学家瑞尼(Alfred Renyi 1921—1970）说，“甚至一个粗糙的数学模型也能帮助我们更好地理解一个实际的问题。因为建立数学模型时，我们通常受限地考虑了各种逻辑关系，不含混地约定了所有的概念，并且区分了重要的和次要的因素。所以，一个数学模型即使导出了与事实不完全符合的结果，它也还可能是有价值的，因为一个模型的失败常常可以帮助我们去寻找和建立更好的模型。”

我们探讨数学模型之美，是希望我们能够从思想方法上更好地驾驭数学模型。虽然我们也谈了一些数学建模相关知识，但是还很不够。要想深入地开展数学建模活动，还有待进一步的学习、提高与实践。正如那句话说的好“要知道梨子甜不甜，品尝一下才会知道”。

希望我们在对数学模型之美的欣赏中，喜欢数学，喜欢数学建模。