21世纪之后的数学会是什么样子（1）

数学作为人类文明史上最耀眼的思想成就之一，影响着人类社会的方方面面。如果在古希腊几何学与代数学的诞生可以看作数学的萌芽，那么17世纪分析学的诞生则预示着数学真正成长起来了。不过，在任何时代来看，数学都绝非真正可以做到成熟与完备。“无穷大”这一概念自分析学出现以来，就一直迷惑着每一位顶尖的数学家。这使得妄图以康托尔集合论统一整个数学体系的希尔伯特不得不以沉重的失败而告终。或许，数学本身正如庞加莱所深刻的指出那样，是“直觉主义”的产物。

但如果真如希尔伯特所妄想的那样——数学是“逻辑主义”的产物，我们将不得不追溯数学定义本身的合理性。为了更清晰的表达我的思想，我下面以“几何学”为例。

众所周知，“点”、“线”这种最基本的数学对象是被欧几里得所定义的。在欧几里得看来，“点”被定义为“没有大小的几何体”。但是现实的世界中，我们所观测的“点”都是有大小。这就出现了一个很大的问题，几何学所描述的几何对象与现实中的几何体是有偏差的。正因为这样，妥协性的说辞——“近似性描述”成为几何学自洽于现实几何的一个解释。

比如，相对于宏观世界而言，电子就可以被近似的看作一个“点”。而庞加莱关于电子自能的计算表明，如果电子真的是一个体积为0的点，那么电子的能量将趋于无穷大。这意味着，在经典物理来看，点状的物体是无意义的，这也被认为是“点模型”的缺陷。

后来量子力学出现了，电子被“忽略内部结构”而被看作一个量子，它的能量由众所周知的普朗克公式所描述。人们以为在量子论的范围内，所谓的“点模型”缺陷将不复存在。但是随着量子电动力学的出现，人们突然发现电子自能仍旧是发散。解决发散的办法是一种被称之为“重整化”的方法。重整化方法要求物理理论在任意标度的动量空间来看，都是“自相似”的；这就为“Wilson分数维空间量子场论”和“维数正规化方法”的出现给出了暗示。因为自相似本身暗示了“分形”，而分形往往是分数维的几何体。

现在我们可以回到“点”的问题了。大家知道，从高维空间来看，低维空间几何体的体积是0。比如，在1维空间看来，点的“长度”为0。但是，值得注意的是，这并不意味着“点”的长度在0.5维空间也为0。“康托尔三分集”强烈的暗示了这一点。因此，如果电子的体积本身是在小于4维（例如3.99维）的时空才是有意义的，那么我们就可以非常自然的理解重整化方法所要求的分数维时空的意义。

正像“分形之父”曼德布罗特所指出的那样，大自然的任何几何体实际上是分形，分形比欧氏几何更加接近现实世界。欧氏几何在分析学的基础上发展了整数维曲线的微积分理论；但是分形几何在分析学的基础上却还没有一个相应的微积分理论。确实，我们还没有一个适用于分数维曲线的微积分理论，尽管不成熟的分数维积分技术已经被用于量子电动力学的重整化方法。

顺应量子场论自洽性的需要，分数维曲线的微积分理论必将是21世纪之后数学发展的基石。从数学史的规律来看，几何分析学从整数维空间向分数维空间过渡也是大势所趋。