大约两周前收到以色列Tel Aviv大学研究生委员会主席R. Fastner教授的e-mail，邀请我评审D. Laschov的博士学位论文。虽然与Mr. Laschov素未谋面，也无直接交往，但知道他和他的老师Margaliot教授一直在做矩阵半张量积方面的研究，自然有兴趣读一读他的博士论文，更何况$300的评审费对一位退休的穷教授也算不菲。

昨天收到邮寄来的博士学位论文，今天开读。突然心血来潮，想和朋友们分享一下自己的感受。

1、谁说我们没有创新？

先把论文摘要的开头两段翻译如下（原文见附一）：

“布尔网络是具有布尔状态变量的离散时间动态系统。目前，作为生物系统，特别是基因调控系统的计算模型，布尔网络正吸引着相当大的注视。布尔控制网络是带有布尔输入的布尔网络。程代展利用矩阵半张量积发展了代数状态空间表示法。这种表示法对于在控制理论的框架下研究布尔控制网络已被证明非常有用。

在本文中，我们利用代数状态空间表示法研究若干布尔控制网络的控制问题。包括：最优控制；最小时间控制；能控性和能观性。研究这些问题会加深我们对基因环路以及生物系统内部控制的理解，从而发展出适用的控制方法以利用外部输入调控生物系统。”

有些人一说到国内学者的研究工作，就贬得一塌糊涂。好像我们只会从国外杂志缝里找题目，只会跟着外国人后面跑。我在这里不是想自吹自擂。但我们在埋头苦干的同时，也可以偶尔自豪地抬起头来说：“我们的工作是原创的，这项研究是外国人在跟着我们做。”

有几个人曾在我的博客上留言诋毁我的工作，如：“我认为XX之所以放弃搞科研是因为他决心脱离程代展搞的伪科学项目”等。我将自己的研究工作当作自己的Baby，看到这样的评价难免痛心。希望这篇博文能多少改变一点这些人对我们工作的看法。

2、别人眼里的矩阵半张量积

再把论文第一章（引言）的开头一小节翻译如下（原文见附二）：

“程代展和他的同事们发明了一种布尔网络/布尔控制网络的代数表示法[1]。我们将在第二章给出这种表示法的细节。这个新工具激发了布尔网络/布尔控制网络方面的大量研究工作，例如：找出布尔网络/布尔控制网络不动点与极限圈的数目、过渡过程与吸引域[2,3]；布尔网络的状态空间分析[4]；布尔控制网络的实现[5]；能控性与能观性[6]；干扰解耦[7]；稳定性与镇定[8]；无穷时域优化[9]；布尔控制网络的辩识[10]，等等。[11]对这些工作做了一个很好的综述。

最近，布尔网络/布尔控制网络的代数表示法还被用到如下的一些问题上：图的最大稳定集与上色问题及其在多自主体不同步问题的应用[12]；布尔变换不动点的存在与数目[13]；混合值逻辑网络的干扰解耦[14]；时间布尔网络的能控性与选化[15]；切换布尔网络的能达性与能控性[16]；布尔网络/布尔控制网络的能观性与可重构性[17]；高阶布尔网络的能抗性[18,19] ；布尔网络/布尔控制网络的状态轨迹的周期结构[20]；切换布尔网络的相容可镇定性[21]；带或不带时延的布尔网络的同步[22,23,24]；以及状态反馈镇定[25]。”

该论文的这一小节刻画了用矩阵半张量积研究布尔网络及相关问题的一个轮廓。这里所列举的包括国内、外学者的一些有代表性的工作。实际上，这方面的文章远比这些多。即使在这篇学位论文其他地方，也引到利用矩阵半张量积的许多其他相关论文。值得一提的是，该小节引用论文最早出自2009年。短短五年的时间，它得到了很大的发展。为了便于感兴趣的读者阅读相关论文，我把上述参考文献列在后面。

我真心感谢我的同行和我过去的和现在的学生们，特别是国内研究半张量积同事们。你们的工作或许在上述短短的引文中被提到，或许没有；还有的朋友，可能你们的第一篇相关论文正在审稿过程中；甚至还有许多最近来信同我探讨想法的朋友。我想借此机会谢谢你们。让我们共同努力，将这套方法发展成一个“中国创造”的新学科体系。

3、矩阵半张量积向何处去

基于矩阵半张量积的研究工作目前相当活跃。随着更多的青年学生、学者的加入，它越发显示出自己的生命力和广泛的应用前景。最近研究显示，矩阵半张量还有许多其他应用，例如，与线路设计有关的布尔函数的分解问题[26]；模糊控制以及解模糊关系方程[27,28]；时变时延的布尔网络[29]；有限自动机[30]；控制器设计[31]；复杂网络的分解[32]；队型控制[33]等等。

那么，矩阵半张量积到底能解决什么样的问题呢？经过这十好几年的工作，个人以为它是解决逻辑型（或者说有限集上的）映射和动态过程的有力工具。

大致可以说：世界上的演化过程可以分为两类：时间型的和逻辑型的。前者如各种力学系统，包括天体运动等，它们可以用微分方程、差分方程等来描述。而后者如离散事件系统、生物演化、博弈等，对于它们可用的经典数学工具实际上是很欠缺的。而矩阵半张量积正是为后一种演化过程提供了一个合适的工具。

不妨把经典逻辑，k值逻辑及混合值逻辑统称为泛逻辑。更一般地，它还可以包括以这些值为界点的中间状态，例如：模糊逻辑以及博弈中的混合策略等。当年Kalman提出状态空间方法，它促使了现代控制理论的诞生。实际上代数状态空间表示法就是给出了泛逻辑型动态演化的状态空间方法。从某种意义上说，它比连续型动态系统的状态空间方法更强大。因为在这种表示下，一切泛逻辑动态系统都可以表示为线性形式，一切泛逻辑控制系统都可以表示为双线性形式。

自己目前最感兴趣的问题是网络演化博弈，我们用泛逻辑状态空间方法首次给出了严格的状态方程[34]。相信它将成为研究网络演化博弈的一个重要平台。我们的目标是要建立一个处理泛逻辑映射和泛逻辑动态过程的一套完整的数学体系，不妨暂时将其称为泛逻辑数学吧。

由于计算机的发展及其广泛应用，有人断言：“微积分在数学中一贯处于领袖地位，可以预期，有朝一日这种地位将被离散数学夺走[35]。”相信我心目中的泛逻辑数学可望成为计算机时代新兴的离散数学的一个重要组成部分。

现在，就我所知，国内参与矩阵半张量积及其应用研究的老师和学生来自：北京大学、清华大学、山东大学、同济大学、哈尔滨工业大学、哈尔滨工程大学、大连理工大学、南开大学、浙江师范大学、聊城大学，以及中科院系统所、沈阳自动化研究所等。国外有意大利、以色列、英国、美国、瑞典等的学者。

这是一个应用广泛、潜力无限的新方向，这是一片初春乍绿、生机盎然的新耕地，我年纪已大，渴望着后继有人，渴望着更多有兴趣的年轻学者加入，让我们一起开拓、耕耘。待到金秋的收获时节，我们一定会硕果累累，满载而归。

参考文献：

[1] D. Cheng, H. Qi, Z. li, Analysis and Control fo Boolean Networks, Springer-Verlag, 2011.

[2] D. Cheng, H. Qi, A linear representation of dynamics of Boolean networks, IEEE Trans. Aut. Contr. , Vol. 55, 2251-2258, 2010.

[3] D. Cheng, Input-state approach to Boolean networks, IEEE Trans. Neural Networks, Vol. 20, 512-521, 2009.

[4] D. Cheng, H. Qi, State-space analysis of Boolean networks, IEEE Trans. Neural Networks, Vol. 21, 584-594, 2010.

[5] D. Cheng, Z. Li, H. Qi, Realization of Boolean control networks, Automatica, Vol. 46, 62-69, 2010.

[6] D. Cheng, H. Qi, Controllability and observability of Boolean control networks, Automatica, Vol. 45, 1659-1667, 2009.

[7] D. Cheng, Disturbance decoupling of Boolean control networks, IEEE Trans. Aut. Contr. , Vol. 56, 2-10, 2011.

[8] D. Cheng, H. Qi, Z. Li, J. Liu, Stability and stabilization of Boolean networks, Int. J. Robust Nonlin. Contr. , Vol. 21, 134-156, 2011.

[9] Y. Zhao, Z. Li, D. Cheng, Optimal control of logical control networks, IEEE Trans. Aut. Contr. , Vol. 56, 1766-1776, 2011.

[10] D. Cheng, Y. Zhao, Identification of Boolean control networks, Automatica, Vol. 47, 702-710, 2011.

[11] D. Cheng, H. Qi, Y. Zhao, Analysis and control of general logical networks – An algebraic approach, Annual Reviews in Contr. , Vol. 36, 11-25, 2012.

[12] Y. Wang, C. Zhang, Z. Liu, A matrix approach to graph maximum stable set and coloring problems with application to multi-agent systems, Automaitca, Vol. 48, 1227-1236, 2012.

[13] H. Li, Y. Wang, Z. Liu, Existence and number of fixed pints of Boolean transformations via the semi-tensor product method, Appl. Math. Letters, Vol. 25, 1142-1147, 2012.

[14] Z. Liu, Y. Wang, Disturbance decoupling of mix-valued logical networks via the semi-tensor product method, Automatica, Vol. 48, 1839-1844, 2012.

[15] F. Li, J. Sun, Cotrollability and optimal control of a temporal Boolean network, Neural Networks, Vol. 34, 10-17, 2012.

[16] H. Li, Y. Wang, On reachability and controllability of switched Boolean control networks, Automatica, Vol. 48, 2917-2922, 2012.

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[18] F. Li, J. Sun, Controllability of higher order Boolean control networks, Appl. Math. Comput. , Vol. 219, 158-169, 2012.

[19] H. Chen, J. Sun, A new approach for global controllability of higher order Boolean control network, Neural Networks, Vol. 39, 12-17, 2013.

[20] E. Fornasini, M. E. Valcher, On the periodic trajectories of Boolean control networks, Automatica, Vol. 49, 1506-1509, 2013.

[21]H. Li, Y. Wang, Consistent stabilizability of switched Boolean networks, Neural Networks, Vol. 46, 183-189, 2013.

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[24] R. Li, M. Yang, T. Chu, Synchronization design of Boolean networks via the semi-tensor product method, IEEE Trans. Neural Netw. Learn. Syst. , Vol. 24, 996-1001, 2013.

[25] R. Li, M. Yang, T. Chu, State feedback stabilization for Boolean control networks, IEEE Trans. Aut. Contr. , Vol. 58, 1853-1857, 2013.

[26] D. Cheng, X. Xu, Bi-decomposition of multi-valued logical functions and its applications, Automatica, Vol. 49, 1979-1985, 2013.

[27] D. Cheng, J. Feng, H. Lv, Solving fuzzy relational equations via semi-tensor product, IEEE Trans. Fuzzy Syst. , Vol. 20, 390-396, 2012.

[28] M. Meng, J. Feng, Synchronization of interconnected multi-valued logical networks, Asian J. Contr. , to appear.

[29] L. Zhan, K. Zhang, Controllability and observability of Boolean control networks with time-variant delays in states, IEEE Trans. Neural Netw. Learn. Syst. , Vol. 24, 1478-1484, 2013.

[30] X. Xu, Y. Hong, Matrix approach to model matching of asynchrollous sequential machines, IEEE Trans. Aut. Contr. , on line: http://ieee.org/stamp/stamp.jsp?tp=&arnumber=6507639.

[31] M. Yang, R. Li, T. Chu, Controller design for disturbance decoupling of Boolean control networks, Automatica, Vol. 49, No. 1, 273-277, 2013.

[32] Y. Zhao, J. Kim, M. Filippone, Aggregation algorithm towards large-scale Boolean network analysis, IEEE Trans. Aut. Contr. , on line: http://ieee.org/stamp/stamp. jsp?tp=&arnumber=6365758.

[33] L. Zhang, J. Feng, Mix-valued logic based formation control, Int. J. Contr. , Vol. 89, 1191-1199, 2013.

[34] D. Cheng, F. He, H. Qi, T. Xu, F. He, Modeling, analysis and control of networked evolutionary games, http://lsc.amss.ac.cn/~dcheng/preprint/NTGAME02.pdf (IEEE TAC, under revision).

[35] 王树和, 《数学聊斋》, 科学出版社, 北京, 2008.

附录一：

Boolean networks (BNs) are discrete-time dynamical systems with Boolean state variables. BNs are recently attracting considerable interest as computational models for biological systems and, in particular, as models of gene regulating networks. Boolean control networks (BCNs) are Boolean networks with Boolean inputs. Daizhan Cheng developed an algebraic state-space representation for BCNs using the semi-tensor product of matrices. This representation proved quite useful for studying BCNs in a control-theoretic framework.

In this work we use the algebraic state-space representation to study several control-theoretic problems for BNs and BCNs including：optimal control, minimum-time control, controllability, and observability. Addressing these problems may lead to a better understanding of genetic circuits and the intrinsic control in biological systems using exogenous inputs.

附录二：

Daizhan Cheng and his colleagues developed an algebraic representation of BNs/BCNs [30]. We give a detailed description of this representation in Chapter 2. This new approach stimulated considerable research in the control theory of BNs/BCNs. Examples include：finding the number of fixed points and cycles, transient period and basin of attractors of BNs and BCNs [28, 23]; state-space analysis of BNs [29]; realization of BCNs [26]; controllability and observabiity [27]; disturbance decoupling [24]; stability and stabilization [31]; infinite horizon optimal control [131]; identification of BCNs [33] and more. A good survey of these works can be found in [32].

More recently the algebraic representation of BNs/BCNs has been used to investigate the following problems：the maximum stable set and vertex coloring problems of graphs with application to the group consensus of multi-agent systems [126], the existence and number of fixed points of Boolean transformations [88], disturbance decoupling in mix-valued logical networks [96], controllability and optimal control of a temporal Boolean networks [96], controllability and optimal control of a temporal Boolean network [84], reachability and controllability of switched BCNs [86], observability and reconstructibility properties of BNs and BCNs [47], controllability of higher-order BCNs [85, 22], periodic structure of the state trajectories of BNs and BCNs [48], consistent stabilizability of switched BNs [87], synchronization of BNs with and without thime delays [89, 90, 92], and state feedback stabilization [91].