《龙门镖局》中的数学与趣味说数之2

  《龙门镖局》中的数学：这是一道求平方根的最简单数学题，需要初一的数学知识。所谓开平方根，就是找出两个相同的数，使他们相乘得到要开平方的数。因为两个2相乘等于4，所以4开平方根就是2。 因为两个-2相乘也是4，所以4开平方根还得到一个数是-2。

   记得读高中时，老师讲过一个笑话，说校园里有一间阁楼房子，它的门只有2的平方根（这是一个无理数，近似数为1.414“意思意思”）这么高，大人只能弯着腰进去，原来是设计师太粗心，忘了将这个平方根进行平方。2的平方根再平方后是2米，这才是门的正常高度。 木工也上过初中，硬是死心眼地手工算出了2的平方根，按照算出的数就做了门。  

下面是我对数字2的趣说：2 唯一的偶素数

（一）最小的偶数

数完1后，自然就进入了2，2是比1多1的数。2是第一个可拆分的自然数，2可以分为1和1。

在汉语里，表示2的字眼还有“两”、“对”、“偶”、“双”等，有以下的成语为证，如两小无猜、两全其美、两全其美、两豆塞耳、两虎相斗、两虎相争、两败俱伤、两相情愿、双管齐下、成双成对。

整数可以分为两类，一类是奇数或单数，一类是偶数或双数。凡是能被2整除的数是偶数，例如2、4、6、8、10；不能被2整除的就是是奇数，例如1、3、5、7、9、11。

关于奇数和偶数，可以列举如下的一些性质：

（1）任何一个整数要么是奇数，要么是偶数；

（2）两个连续整数中必是一个奇数一个偶数，或者奇数在前，或者偶数在前；

（3）奇数个奇数相加得到奇数，例如1+3+5=9,9为奇数；偶数个奇数相加得到偶数，1+3+5+7=16,16是偶数；任意多偶数相加得到偶数；

（4）奇数减奇数得到偶数，例如7-5=2；偶数减偶数得到偶数，例如8-6=2；偶数与奇数相减得到奇数，例如8-5=3，5-2=3；

（5）若对两个整数做加法和减法，得数有相同的奇偶性，例如5+3=8，5-3=2，8和2都是偶数；

（6）奇数的乘积是奇数，例如3×5=15，15是奇数；偶数与其他整数的乘积是偶数，例如2×3=6,6是偶数；

（7）2是唯一的偶素数，除2外所有的偶数均为合数，例如，4=2×2，6=2×3；

（8）相邻偶数最大公约数为2，例如，6、8的最大公约数为2。

（9）任何一个偶数可以表示成2k,任何一个奇数可以表示成2k-1，其中k为任意正整数。

（10）任何一个数除以2，余数要么是0，要么是1。

（二）奇偶性的简单应用

数的奇偶性分析看起来非常简单，却常在一些简单的数学竞赛题中出现。

例1，你走楼梯上楼，如果楼梯的级数足够多，不管你一次跨多少级梯子，你三次跨步之间，至少有两次跨步之间的梯级数是偶数。

因为三次跨步的梯级数之至少有两个同是奇数或者同是偶数；奇数减奇数为偶数，偶数减偶数为偶数。

例2，用1、2、3、4、5这5个数两两相乘，可以得到10个不同的乘积，在这10个乘积中，奇数多还是偶数多，奇数和偶数相差多少个？

最简单的办法就是枚举出全部的乘积。如果利用奇偶性质，可以判断：因为奇数乘奇数才能得到奇数，奇数只有3个，只能得到3个奇数乘积，因此偶数乘积为7个，两者相差为4个。

下面是两道前苏联的数学奥林匹克竞赛题，也是用奇偶性分析来解答的，但是要上面的例题复杂一些。

  例3 证明不存在整数a,b,c,d满足下列等式

a×b×c×d－a=1961

a×b×c×d－b=961

a×b×c×d－c=61

a×b×c×d－d=1

根据每一个等式，可以得到a,b,c,d、a×b×c×d每一个都是奇数的结论，然而两个奇数相减为偶数，与上述等式矛盾。

例4 桌子上有一堆石子共1001粒，第一步从中扔去1粒，并将余下的石子分成两堆。以后每一步，都从某个石子数目多于1的堆中扔去1粒，再把某一堆分成两堆。试问，能否在若干步之后之后，桌上的每一堆中刚好只剩下3粒石子？

经过n-1次操作后也就是扔掉n-1粒石子后才能得到n堆的3粒石子，因此所有石子数应满足如下算式

1001=n-1+3n；1002=4n；501=2n

显然,结果会发生奇偶性矛盾，上述操作不可能实现。

（三）2进制

说到2，自然要说到二进制。

二进制数是用0和1这两个数码来表示的数。在二进制中，0就是零，1就是一，10就是二，100就是四，1000就是八。

二进制的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”，因此二进制的运算特别简单。

二进制加法只有4种情况：0+0＝0；0+1＝1；1+0＝1；1+1＝10， 进位为1。

减法是加法的逆运算：0-0=0；0-1=-1；1-0=1；1-1=0。

二进制乘法也只有4种情况：0×0＝0；1×0＝0；0×1＝0；1×1＝1。

除法是乘法的逆运算：1÷1=1；0÷1=0。

例如下面的计算

1001＋1111=11000；

1001×1111=10000111

1111—1001=110

1111÷1001=1余110

二进制是计算技术中广泛采用的一种数制。二进制广泛应用于计算机的原因在于：

（1）技术实现简单，计算机是由逻辑电路组成，逻辑电话通常只有两个状态，开关的接通与断开，这两种状态正好可以用“1”和“0”表示。
  （2）简化运算规则：两个二进制数和、积运算规则简单，有利于简化计算机内部结构，提高运算速度。
  （3）适合逻辑运算：逻辑代数是逻辑运算的理论依据，二进制只有两个数码，正好与逻辑代数中的“真”和“假”相吻合。
  （4）易于进行转换，二进制与十进制数易于互相转换。