原本不想再就五次方程解这个问题发什么议论了，但有人还在发奇谈怪论，有人一而再、再而三地揪住我不放。实在忍无可忍，还想再说几句。

一、关于五次方程解的最后说明（这个说明完全放弃数学的严格论述，希望仅具中学数学基础的年轻朋友也能看懂）

1.1 什么是不可约方程

最常用的数域有三个：有理数，实数，复数。它们之所以称为数域，是因为在其中可以做“加、减、乘、除”（做除法时分母不为零）。整数集合就不是域，因为不能做除法（即整数除整数一般不再是整数）。一个以整数为系数的多项式，或一个以有理数为系数的多项式（在解方程时，乘系数的公分母，后者就可以转换为前者），它可约，就是它可以表示为两个（不小于一次的）多项式的乘积。谈到可约、不可约时，一定要强调分解出的两个因子多项式的系数在那个域中。具体地说，就是它在有理数域是否可约，在实数域是否可约，在复数域是否可约。抽象地说一个多项式可约，不可约是没有意义的。

举几个简单例子：(i) $x^2-x-2=(x-2)(x+1)$，因此，$x^2-x-2$在有理数域可约。(ii) $x^2-2$，它在有理数域不可约，但在实数域可约：$x^2-2=(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})$。(iii) $x^2+4$在实数域也不可约，但它在复数域可约：$x^2+4=(x+2i)(x-2i)$。

那么，在讨论五次方程解时，可约性应该指在那个数域中可约呢？代数基本定理说,在复数域每个$n$次方程都有$n$个根。也就是说，在复数域，每个$n$次多项式都能分解成：$(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n)$。因此，在复数域里,任何二次及以上的多项式均可约。

由中学数学知道，实系数方程虚根成对。因此，每个五次有理系数方程至少有一个实根，即五次有理多项式在实数域都可约。因此,谈论五次有理多项式可不可约只有对有理数域才有意义。这是研究高次方程解时大家公认的事实，例如,$x^5-2$是不可约的。

1.2 什么是五次方程公式解

一个多项式方程的公式解（也称根式解）,指的是方程的根是否可以用其系数通过有限多次加、减、乘、除、根式运算表示出来。（其实，这与多项式可约、不可约毫无关系。）

所谓公式解是指对任何一个方程，用同样的步骤，可以将其解表示出来。（回忆二次方程的解公式，就不难理解这一点。）因此，只要举出一个方程，它的根不能用其系数通过有限多次加、减、乘、除、根式运算表示出来，就说明这一类方程没有公式解。

“一般五次方程没有公式解”，这是一个数学上早已严格证明过的结论。它是阿贝尔最早证明的。这个结果已经被载入数学史。[1]中有这么一段话：“It was Niels Henrik Abel who finally proved (in 1827) the impossibility of solving a general equation of degree 5 or higher in terms of radicals.”(是阿贝尔在1827年最后证明了用根式解一般的五次或更高次方程是不可能的。)

1.3 伽罗华理论究竟讲了什么？

想将伽罗华理论的内容在这里讲清楚是不可能的(虽然我可以负责任地说，我对这部分内容完全掌握),但我可以将它到底讲的是什么讲清楚：对于每一个一元有理多项式，伽罗华都定义一个用来刻画这个多项式本质的东西，这个东西后来被称为伽罗华群。伽罗华理论讲的是：一个有理多项式有根式解，当且仅当它的伽罗华群可解。(这里，可解是指可分解成一列嵌套的正规子群。这超出本文范围，读者也不必细究，这不妨碍本文阅读。)

二、关于吴老先生最新结果的批判

最近，吴老先生在《任意5次不可约代数方程仅由其各系数有理运算表达的公式解》一文中称“具体给出任意5次不可约代数方程的仅由其各系数有理运算表达的公式解。”强调说是“这些解都是根本不引进任何根式，仅由其各系数的有理运算表达的公式解。”

根据吴老先生的新“理论”，一个有理系数的不可约五次方程，它的解可由有理系数经有理运算表达。有理数经过加、减、乘、除这些有理运算得到的当然是有理数。这就是说，有理系数五次（或更高次）方程的根都是有理数。任何一个学过二次方程解的中学生都不会相信这种奇谈怪论吧？

举一个简单例子，$x^5-2=0$。大家都知道，它有一个无理数根，四个复数根。这些根怎么可能用有理数来表示呢？吴老先生为什么连这么简单的方程都不能用你那“公式”算一算呢？

实际上，如果一个有理系数五次方程$P(x)=0$有一个有理数根$a$，那它就能表示成$P(x)=(x-a)Q(x)$，这里$Q(x)$是四次多项式，经比较系数就可知，$Q(x)$也是有理系数的。换言之，$P(x)$可约。因此，如果吴老先生的结论对：即，不可约有理系数五次方程有有理根（也就是有理系数经有理运算得到的根）。那么，这等于说：“不可约有理系数五次方程是可约的。”世界上还有比这个更荒谬的结论吗？

三、要以一颗真诚的心对待科学研究

一个农民，他对自己地里长的庄稼会真心相待，一个工人对自己的制作也会十分珍惜。只有这样，庄稼，产品才会给你回报。作为一个科学工作者，也应当以一颗真诚的心对待自己的科研工作。你的每一项工作，每一篇论文，都是你的产品，你的Baby，要用你的心去爱它，千万不能制造假冒伪劣的产品去骗取功名利碌。个人以为，对科研的真诚态度至少应包括以下几点：

3.1 知之为知之，不知为不知

要有实事求是的态度，知之为知之，不知为不知。不能想当然，强不知以为知。吴老先生正是犯了“想当然”的毛病。他对伽罗华理论完全不懂。伽罗华理论的核心是伽罗华群和它的可解性，吴老先生在谈到伽罗华理论时从未提及这些。

他用自己的想象代替伽罗华理论，信口开河地说：“伽罗华的理论所证明的，实际上，也只是：‘在求解n次不可约代数方程的整个过程中，所添加根式的指数，n*，应是小于4’，并非所解方程的次数，n，应是小于4，并非方程的次数n大于4就不能有根式解。”这是典型的胡说八道。以$x^5-2=0$为例，它的一个根是$\sqrt[5]{2}$。你怎么可能用根指数小于4的根式表示这个解呢？

吴老先生多次提到：“学术界似乎已公认(或说‘一般认为’)$n>4$的不可约代数方程没有根式解。”这又是一个外行的奇谈怪论。任何一个学过抽象代数的人都不会认为：“$n>4$的不可约代数方程没有根式解。”例如，$x^5-2=0$就有根式解。伽罗华理论说的是：不是所有的$n>4$的不可约代数方程都有根式解。有的有，有的没有，要看它对应的伽罗华群是否可解。

吴老先生还说：“阿贝尔没有证明，一般五次方程没有根式解。”我给你指出了[2]中就有证明。其实，我在[3]中也给出了详尽证明，它基本上是[2]中的证明。

每个人都有一个从不懂到懂的认知过程。不懂是正常的，但要实事求是，不能不懂装懂。作为一个资深学者,更不能信口开河，这样会误导年轻人。再有，我不反对挑战权威，但你首先要弄懂你挑战的对象。在一知半解,甚至连一知半解都没有的情况下，不负责任地信口雌黄，这不是科学研究，不是探索，而是哗众取宠。

3.2 要勇于承认错误，不要文过饰非

个人认为，在科研的时候，犯错误不仅是难免的，而且是一种常态。只有在不断犯错,不断纠正错误的过程中才有希望达到最后的正确的结论。但错了就要承认，不要文过饰非。

吴老先生在2011年的博文“任意n次不可约代数方程的根式解”中给出根式解法。本人先从理论上证明了它是错的，而后,在应行仁、徐晓等网友的共同下，我们用具体数值例子验证了其公式是错误的。但吴老先生不顾事实,蛮横地说：“告诉你吧,我给任意五次不可约方程根式解完全正确。”这不是一个科学家对科学讨论应有的态度。一个科学工作者要尊重事实、敬畏真理。在学术上犯错误其实并不丢脸，罔顾事实，坚持错误，这才可耻。

我有一篇文章，发在2011年IEEE TAC第一卷第一期的第一篇长文。在山大给学生讲课时，一位学生指出一个推论有问题。发现她的观点是对的，我当时确实有点失落。但我还是鼓励她写一个Comments。写好后我还帮她修改。最后这个批评我的Comments也发在TAC上了。我相信，在学术问题上,对就是对，错就是错，任何人在真理面前都没有讨价还价的余地。

3.3 正确对待科学争论

有人把所谓“程吴之争”说成是掐架，指责我“不负责任”。我不认为这是什么个人之争，而是学术讨论。我自信还是努力摆事实讲道理的。即使我对吴老先生的数学水平评价很低，但那也是我从他论文中得出的结论，是个人的评价。

有人说我数学水平低，不懂什么是代数数，什么是超越数。即使我不认可，但以为你完全有权这么讲，一点都不过分。但吴老先生对我的用词包括：“可笑”、“卑劣”、“恶劣”、“不通人性”、“学阀”、”学霸”、“耍两面派”、“不讲道理”、“胡说八道”。对此，我固然可以一笑置之，但还是以为在科学争论中这些是不宜的。

其实，在科学问题的争论中，尊重对方也就是尊重自己。

四、关于民科与民数

我开始常用“代数”或“民科”批评非专业人士，一些网友批评了我。反思之后我以为，从事科研不在于他（她）的社会地位，而在于他（她）是否以科学的态度对待科学问题。有网友提到：当年出山前的华罗庚，还有今天的佩雷尔曼，都是民数。我想，他们说的都对的。甚至最近证明了弱孪生素数猜想的张益唐，算为民数也不过分。

现在我相信，一个人只要对科学有一颗真诚的心，用科学的、实事求是的精神去探索科学真理，而不是将科研当获取名利的敲门砖，蝇营狗苟，投机取巧，他就是一名合格的科研人员。只要努力，他就会有登顶的希望!

参考文献

[1] V.J. Katz, 《数学简史》(英文版), 机械工业出版社, 2004.

[2] C.C. Pinter, A Book of Abstract Algebra, McGraw-Hill Pub., 1990.

[3] 程代展, 《系统与控制中的近代数学基础》, 清华大学出版社, 北京, 2007.