daizhancheng的个人博客分享 http://blog.sciencenet.cn/u/daizhancheng

博文

当以真诚待科研 精选

已有 27756 次阅读 2013-7-5 13:09 |个人分类:杂感|系统分类:观点评述| 五次方程, 当以真诚待科研

原本不想再就五次方程解这个问题发什么议论了,但有人还在发奇谈怪论,有人一而再、再而三地揪住我不放。实在忍无可忍,还想再说几句。

一、关于五次方程解的最后说明(这个说明完全放弃数学的严格论述,希望仅具中学数学基础的年轻朋友也能看懂)

1.1 什么是不可约方程

最常用的数域有三个:有理数,实数,复数。它们之所以称为数域,是因为在其中可以做“加、减、乘、除”(做除法时分母不为零)。整数集合就不是域,因为不能做除法(即整数除整数一般不再是整数)。一个以整数为系数的多项式,或一个以有理数为系数的多项式(在解方程时,乘系数的公分母,后者就可以转换为前者),它可约,就是它可以表示为两个(不小于一次的)多项式的乘积。谈到可约、不可约时,一定要强调分解出的两个因子多项式的系数在那个域中。具体地说,就是它在有理数域是否可约,在实数域是否可约,在复数域是否可约。抽象地说一个多项式可约,不可约是没有意义的。

举几个简单例子:(i) $x^2-x-2=(x-2)(x+1)$,因此,$x^2-x-2$在有理数域可约。(ii) $x^2-2$,它在有理数域不可约,但在实数域可约:$x^2-2=(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})$。(iii) $x^2+4$在实数域也不可约,但它在复数域可约:$x^2+4=(x+2i)(x-2i)$。

那么,在讨论五次方程解时,可约性应该指在那个数域中可约呢?代数基本定理说,在复数域每个$n$次方程都有$n$个根。也就是说,在复数域,每个$n$次多项式都能分解成:$(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n)$。因此,在复数域里,任何二次及以上的多项式均可约。

由中学数学知道,实系数方程虚根成对。因此,每个五次有理系数方程至少有一个实根,即五次有理多项式在实数域都可约。因此,谈论五次有理多项式可不可约只有对有理数域才有意义。这是研究高次方程解时大家公认的事实,例如,$x^5-2$是不可约的。

1.2 什么是五次方程公式解

一个多项式方程的公式解(也称根式解),指的是方程的根是否可以用其系数通过有限多次加、减、乘、除、根式运算表示出来。(其实,这与多项式可约、不可约毫无关系。)

所谓公式解是指对任何一个方程,用同样的步骤,可以将其解表示出来。(回忆二次方程的解公式,就不难理解这一点。)因此,只要举出一个方程,它的根不能用其系数通过有限多次加、减、乘、除、根式运算表示出来,就说明这一类方程没有公式解。

“一般五次方程没有公式解”,这是一个数学上早已严格证明过的结论。它是阿贝尔最早证明的。这个结果已经被载入数学史。[1]中有这么一段话:“It was Niels Henrik Abel who finally proved (in 1827) the impossibility of solving a general equation of degree 5 or higher in terms of radicals.”(是阿贝尔在1827年最后证明了用根式解一般的五次或更高次方程是不可能的。)

1.3 伽罗华理论究竟讲了什么?

想将伽罗华理论的内容在这里讲清楚是不可能的(虽然我可以负责任地说,我对这部分内容完全掌握),但我可以将它到底讲的是什么讲清楚:对于每一个一元有理多项式,伽罗华都定义一个用来刻画这个多项式本质的东西,这个东西后来被称为伽罗华群。伽罗华理论讲的是:一个有理多项式有根式解,当且仅当它的伽罗华群可解。(这里,可解是指可分解成一列嵌套的正规子群。这超出本文范围,读者也不必细究,这不妨碍本文阅读。)

二、关于吴老先生最新结果的批判

最近,吴老先生在《任意5次不可约代数方程仅由其各系数有理运算表达的公式解》一文中称“具体给出任意5次不可约代数方程的仅由其各系数有理运算表达的公式解。”强调说是“这些解都是根本不引进任何根式,仅由其各系数的有理运算表达的公式解。”

根据吴老先生的新“理论”,一个有理系数的不可约五次方程,它的解可由有理系数经有理运算表达。有理数经过加、减、乘、除这些有理运算得到的当然是有理数。这就是说,有理系数五次(或更高次)方程的根都是有理数。任何一个学过二次方程解的中学生都不会相信这种奇谈怪论吧?

举一个简单例子,$x^5-2=0$。大家都知道,它有一个无理数根,四个复数根。这些根怎么可能用有理数来表示呢?吴老先生为什么连这么简单的方程都不能用你那“公式”算一算呢?

实际上,如果一个有理系数五次方程$P(x)=0$有一个有理数根$a$,那它就能表示成$P(x)=(x-a)Q(x)$,这里$Q(x)$是四次多项式,经比较系数就可知,$Q(x)$也是有理系数的。换言之,$P(x)$可约。因此,如果吴老先生的结论对:即,不可约有理系数五次方程有有理根(也就是有理系数经有理运算得到的根)。那么,这等于说:“不可约有理系数五次方程是可约的。”世界上还有比这个更荒谬的结论吗?

三、要以一颗真诚的心对待科学研究

一个农民,他对自己地里长的庄稼会真心相待,一个工人对自己的制作也会十分珍惜。只有这样,庄稼,产品才会给你回报。作为一个科学工作者,也应当以一颗真诚的心对待自己的科研工作。你的每一项工作,每一篇论文,都是你的产品,你的Baby,要用你的心去爱它,千万不能制造假冒伪劣的产品去骗取功名利碌。个人以为,对科研的真诚态度至少应包括以下几点:

3.1 知之为知之,不知为不知

要有实事求是的态度,知之为知之,不知为不知。不能想当然,强不知以为知。吴老先生正是犯了“想当然”的毛病。他对伽罗华理论完全不懂。伽罗华理论的核心是伽罗华群和它的可解性,吴老先生在谈到伽罗华理论时从未提及这些。

他用自己的想象代替伽罗华理论,信口开河地说:“伽罗华的理论所证明的,实际上,也只是:‘在求解n次不可约代数方程的整个过程中,所添加根式的指数,n*,应是小于4’,并非所解方程的次数,n,应是小于4,并非方程的次数n大于4就不能有根式解。”这是典型的胡说八道。以$x^5-2=0$为例,它的一个根是$\sqrt[5]{2}$。你怎么可能用根指数小于4的根式表示这个解呢?

吴老先生多次提到:“学术界似乎已公认(或说‘一般认为’)$n>4$的不可约代数方程没有根式解。”这又是一个外行的奇谈怪论。任何一个学过抽象代数的人都不会认为:“$n>4$的不可约代数方程没有根式解。”例如,$x^5-2=0$就有根式解。伽罗华理论说的是:不是所有的$n>4$的不可约代数方程都有根式解。有的有,有的没有,要看它对应的伽罗华群是否可解。

吴老先生还说:“阿贝尔没有证明,一般五次方程没有根式解。”我给你指出了[2]中就有证明。其实,我在[3]中也给出了详尽证明,它基本上是[2]中的证明。

每个人都有一个从不懂到懂的认知过程。不懂是正常的,但要实事求是,不能不懂装懂。作为一个资深学者,更不能信口开河,这样会误导年轻人。再有,我不反对挑战权威,但你首先要弄懂你挑战的对象。在一知半解,甚至连一知半解都没有的情况下,不负责任地信口雌黄,这不是科学研究,不是探索,而是哗众取宠。

3.2 要勇于承认错误,不要文过饰非

个人认为,在科研的时候,犯错误不仅是难免的,而且是一种常态。只有在不断犯错,不断纠正错误的过程中才有希望达到最后的正确的结论。但错了就要承认,不要文过饰非。

吴老先生在2011年的博文“任意n次不可约代数方程的根式解”中给出根式解法。本人先从理论上证明了它是错的,而后,在应行仁、徐晓等网友的共同下,我们用具体数值例子验证了其公式是错误的。但吴老先生不顾事实,蛮横地说:“告诉你吧,我给任意五次不可约方程根式解完全正确。”这不是一个科学家对科学讨论应有的态度。一个科学工作者要尊重事实、敬畏真理。在学术上犯错误其实并不丢脸,罔顾事实,坚持错误,这才可耻。

我有一篇文章,发在2011年IEEE TAC第一卷第一期的第一篇长文。在山大给学生讲课时,一位学生指出一个推论有问题。发现她的观点是对的,我当时确实有点失落。但我还是鼓励她写一个Comments。写好后我还帮她修改。最后这个批评我的Comments也发在TAC上了。我相信,在学术问题上,对就是对,错就是错,任何人在真理面前都没有讨价还价的余地。

3.3 正确对待科学争论

有人把所谓“程吴之争”说成是掐架,指责我“不负责任”。我不认为这是什么个人之争,而是学术讨论。我自信还是努力摆事实讲道理的。即使我对吴老先生的数学水平评价很低,但那也是我从他论文中得出的结论,是个人的评价。

有人说我数学水平低,不懂什么是代数数,什么是超越数。即使我不认可,但以为你完全有权这么讲,一点都不过分。但吴老先生对我的用词包括:“可笑”、“卑劣”、“恶劣”、“不通人性”、“学阀”、”学霸”、“耍两面派”、“不讲道理”、“胡说八道”。对此,我固然可以一笑置之,但还是以为在科学争论中这些是不宜的。

其实,在科学问题的争论中,尊重对方也就是尊重自己。

四、关于民科与民数

我开始常用“代数”或“民科”批评非专业人士,一些网友批评了我。反思之后我以为,从事科研不在于他(她)的社会地位,而在于他(她)是否以科学的态度对待科学问题。有网友提到:当年出山前的华罗庚,还有今天的佩雷尔曼,都是民数。我想,他们说的都对的。甚至最近证明了弱孪生素数猜想的张益唐,算为民数也不过分。

现在我相信,一个人只要对科学有一颗真诚的心,用科学的、实事求是的精神去探索科学真理,而不是将科研当获取名利的敲门砖,蝇营狗苟,投机取巧,他就是一名合格的科研人员。只要努力,他就会有登顶的希望!

参考文献

[1] V.J. Katz, 《数学简史》(英文版), 机械工业出版社, 2004.

[2] C.C. Pinter, A Book of Abstract Algebra, McGraw-Hill Pub., 1990.

[3] 程代展, 《系统与控制中的近代数学基础》, 清华大学出版社, 北京, 2007.



https://wap.sciencenet.cn/blog-660333-705541.html

上一篇:读书、科研与人生道路
下一篇:一篇在审的博士学位论文
收藏 IP: 159.226.47.*| 热度|

97 秦逸人 张洁 赵美娣 郭向云 鲍海飞 康建 彭真明 郑小康 孙学军 於鑫 朱晓刚 张鹏举 程适 张忆文 徐晓 王浩 曹建军 吴信 温世正 张士伟 刘全慧 张能立 陈安 杜伟 苏金亚 赵森 石磊 许浚远 陈福强 李宇斌 徐大彬 林涛 李贤伟 李伟钢 廖晓琳 张海霞 赵丛然 沈小双 魏兰英 孙东科 陈学雷 刘晓锋 田云川 徐耀 蒋迅 徐俊峰 李学宽 叶春浓 陈儒军 徐腾飞 应行仁 户国 马磊 蒋继平 吴吉良 吴明火 唐常杰 梁大成 张启峰 贺乐 王光辉 邢东义 陆俊茜 蒋永华 杨顺楷 张明武 姚小鸥 陆泽橼 赵保明 刘建栋 wliming shengjianguo xiyouxiyou ttee1 crossludo xzone qqlisten yunbozhao 嘉靖洪宪 biofans xuyiganghz xqhuang lbjman Kaji zhangjinxue ZhuLJ xsongy zhangcz07 leiyunting dayezhang scibooks decipherer idealist xidiannxu techne gaoshannankai Kexuerenwu

该博文允许注册用户评论 请点击登录 评论 (141 个评论)

数据加载中...

Archiver|手机版|科学网 ( 京ICP备07017567号-12 )

GMT+8, 2024-10-31 09:54

Powered by ScienceNet.cn

Copyright © 2007- 中国科学报社

返回顶部