多边形有限元法是传统有限元法的扩展，不但能适应三角形与四边形单元，还能适应任意边数的多边形单元，同时形函数满足patch test的所有要求，包括：

（1）满足Kronecker-delta性

（2）满足单位分解性

（3）满足完备性

（4）对于一阶的有限元单元，形函数在单元边界上应该是线性的

在自适应计算、非均质材料模拟和裂纹扩展等领域有很强的优势。

算例一：四点剪条件下的裂纹扩展

图1. 模型示意图

图2. 网格图

图3. 裂纹扩展路径

算例二：带双孔平板中的裂纹扩展

图4. 模型示意图

图5. 网格图

图6. 裂纹扩展过程中x方向应力变化

图7. 裂纹扩展过程中y方向应力变化

图8. 裂纹扩展过程中xy方向剪应力变化

算例三：巴西圆盘实验中的裂纹扩展

图9. 模型示意图

图10. 裂纹扩展路径

图11. 试验对比（四川大学王启智教授提供）

算例四：

参考文献：

(1) X. H. Tang, C. Zheng,S.C. Wu, J.H. Zhang. A Novel Virtual Node Method for Polygonal Elements, Appl.Math. Mech.-Engl. Ed., (SCI, EI), 2009, 30(10), 1233-1246.

(2) X. H. Tang, C. Zheng,S.C. Wu, J.H. Zhang. A novel four-node quadrilateral element with continuousnodal stress, Appl. Math. Mech.-Engl. Ed., (SCI, EI), 2009, 30(12), 1519-1532..

(3) X. H. Tang, C. Zheng,J.H. Zhang, A Novel Polygonal Finite Element Method: Virtual Node Method, ISCMII-EPMESC XII-2009 conference (EI, Best Student Paper Award).

(4) X. H. Tang, S.C. Wu,C. Zheng, J. H. Zhang, The Mean Value Method for Crack Propagation, ICNC'09-FSKD'09conference (EI).

(5) 唐旭海，一种新的多边形有限元法及其在模拟裂纹扩展中的应用，四川大学硕士学位论文，2009