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命题:绝对收敛的级数必有两个收敛的子级数;而条件收敛的级数必有两个发散的子级数。
定义:设 $sum_{n=1}^infty a_n$ 为级数, 则 $sum_{k=1}^infty a_{n_k}$ 称为其一子级数, 其中 $a_{n_k}$ 是 $a_n$ 的一个子列。
证明:对级数 $sum_{n=1}^infty a_n$,取
[sum_{n=1}^infty frac{|a_n|+a_n}{2},quad sum_{n=1}^infty frac{|a_n|-a_n}{2}]
即可。
事实上,由 [frac{|a_n|+a_n}{2}=left{begin{array}{ll}a_n,&a_ngeq 0,\0,&a_n<0end{array}right.] 知上面两个级数都是 $sum_{n=1}^infty a_n$ 的子级数。若 $sum_{n=1}^infty a_n$ 收敛,则上面两个级数收敛;若 $sum_{n=1}^infty a_n$ 条件收敛,则上面两个级数发散。
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GMT+8, 2024-10-20 02:28
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