证明: 当 $n>1$ 时成立\[n!<\left(\frac{n+1}{2}\right)^n.\]

利用 $(n!)^2=(n\cdot 1)[(n-1)\cdot 2]\cdots (1\cdot n)$ 证明: 当 $n>1$ 时成立 \[n!<\left(\frac{n+2}{\sqrt{6}}\right)^n.\]

证明: 对任意实数 $r$  成立\[\left(\sum_{k=1}^n k^r\right)^n\geq n^n (n!)^r.\].

证明: \[\left(\frac{n+1}{e}\right)^n<n!<e\left(\frac{n+1}{e}\right)^{n+1}.\]

证明: \[\left(\frac{n}{3}\right)^n<n!<\left(\frac{n}{2}\right)^n,\] 其中右边的不等式当 $n\geq 6$ 时成立.

证明: [left(frac{n}{e}right)^n<n!<eleft(frac{n}{2}right)^n.].