最近，网上关于数学本质的讨论突然热了起来。作为中科院数学院的研究人员，虽然本人专业不是纯粹数学而是应用数学，但也算一个数学相关领域的从业人员吧，对这些讨论自然是关心的，于是不揣孤陋，也来凑个热闹。

1. 数学是不是绝对真理

    这是曹教授最近一篇博文的题目。假如要在数学的严密性之下讨论这个问题，那么，首先要定义什么是“绝对真理”。我给出以下定义：“一个命题，如果在任何情况下都对，那它就是绝对真理。”实际上，这本身就会导出数学上的一个著名悖论：命题“世界上没有绝对真理”。（这可以替换成曹教授命题：“任何真理都只是在一定条件下是真理，超过这一定条件它就成了假理。”）那么，这个命题（或曹教授命题）本身是不是“绝对真理”？如果回答是“True”，那么，世界上不就有“绝对真理”了吗？如果回答是“False”，那么，这个命题的例外不就是“绝对真理”了吗？

    从数学角度看，马克思的观点：“无数相对真理总和就是绝对真理”是很可笑的。在欧氏几何里，直线外一点能且只能引直线的一条平行线（平行公设，或第五公设）；在罗巴切夫斯基几何里则至少可引两条，在黎曼几何里也可能一条都没有。把它们“总和”到一起就成了谬论了，因为“把它们用于不同情况”是无法理解的。

2. 公理化体制与数学的对与错

    数学，尤其是以公理化体制为基础的数学，它仅由很少几条公理出发，发展出整个学科。例如：欧氏几何的五条公设。点集扑拓中关于扑拓的定义（3条）。在一个数学分支里，对错只依赖于你的前提假设，即公理。因此，数学与物理学的最根本区别是：物理学定律是对观察现象的总结，需要实验验证。而纯粹数学靠的是逻辑推理，你不能说：“事实证明某个数学公式错了。”

    至于数学的应用则只是你认为某个数学工具可用于描述现实世界中的某种现象。如果发现错了，那是你找错了工具，不是数学错了。可以说，数学的对错与真理无关。数学中充满了现实中根本不存在的东西。最简单的例子是：在几何学中，“点”只有位置，没有大小。这在现实中是不可能有的。拓扑学中的克莱茵瓶，著名庞加莱猜想中的三维球面，等等，都是现实世界中不存在的。如果你要对数学扯上“实践是检验真理的唯一标准”，那真是风马牛不相及了。

    二十世纪初，当测度论与集合论均已完善之后，数学家们曾经相信，数学已臻于完美，无懈可击。庞加莱甚至在1900年巴黎数学家大会上宣布：“现在我们可以宣布，完全的严格性已经达到！”但不久后，这种美好感受就被罗素打破了。罗素在1919年提出一个后来被称为“罗素悖论”的问题：一个岛上有个理发师，他宣布给岛上所有不给自己刮脸的人刮脸。那他给不给自己刮脸？如果他给自己刮脸，那他就不该给自己刮脸；如果他不给自己刮脸，那他就应该给自己刮脸。这个悖论动摇了集合论的基础。记S为不给自己刮脸的人的集合，那么，理发师是否属于S呢？根据以上讨论，如是“是”，则可推出“不是”；如是“不是”，则可推出“是”。

    为了解决这种矛盾，希尔伯特提出自己思索已久的克服数学危机的方案，称为“形式主义纲领”或“希尔伯特纲领”，目的是建立一个包罗万象的数学体系，使得每个命题在这个体系下都可以指出对错。

    希尔伯特的这种努力不久后被逻辑学家哥德尔打破了。哥德尔在1931年证明了后来被称为不完全性的定理（Godel Incompleteness Theorem）：任何数学体系均有它既不能证明也不能证伪的命题。

    最著名的在现有数学体系（ZFC体系）下不能证明或证伪的是“连续统假定”。即没有一组数，它比有理数多又比实数少。还有三个等价命题：“选择公理”、“Zorn引理”、“超限归纳法”，也是现有数学体系下不能证明或证伪的。但现代数学一般假定它们都是对的。

    也许，数学并不像人们想象得那样完美，无懈可击。

3. 纯粹数学面临的挑战

    数学，特别是纯粹数学，决不是万能的。

    我对纯粹数学家充满钦佩，特别是那些像证明费马大定理的Wiles，证明庞加莱猜想的Perelman，等，他们代表了当代人类智慧的顶峰。但是，这类经典的数学证明方法还能走多远？数学家Horgan著文说：“费马大定理的证明是不是一种正在消逝的文化的最后挣扎呢？Wiles避开了计算机和应用以及其他种种令他讨厌的东西，但是，将来Wiles式的人物会越来越少。”

    再说，一个几百页的证明，全世界只有十几、至多几十人能看懂，这种结果可靠吗？一位数学家Thurston说：“把数学在原则上简化为形式证明是20世纪所特有的一个不可靠的念头，高度形式化的证明比借助更直观的证明更有可能出毛病。”

    最重要的是：到底有多少数学问题能被严格证明出来。一位科学家Graham说：“背离传统的证明的潮流或许是不可避免的，单靠人的思维无法证明的东西是一片汪洋大海，与这片大海比起来，你能证明的东西，或许只是一些孤零零的小岛。”是的，谁也不能保证，黎曼猜想或哥德巴赫猜想，在将来的某一天一定会被传统方法证明出来。况且，纯粹数学的难题多如牛毛。

    千万别把数学看作万能的！个人甚至认为，纯粹数学正走向没落，将来，很可能成为极少数天才的游戏。

4. 数学的出路

    面对汪洋大海，特别是高科技不停地向这个大海增加新的难题，而纯粹数学又只能解决一些孤岛，那么，出路在那里呢？个人以为

    （1）计算机

四色问题是一个很好的例子，计算机证明了人类仅凭大脑至今做不到的事情。吴文俊先生等创立的机器证明，计算机的日益智能化，这些走向表明：将来计算机会代替人类进行思考。当然，机器思考必须是人类思考的延伸，只能在人类思考的指导下进行的。

    （2）新的数学工具

    微软曾组织一些科学家，于2006年写了一份报告：“面向2020年的科学”(Towards 2020 Science)。认为生命科学，计算机科学和复杂性理论等正在催生一种新的数学，它本质上是离散型的，并与计算机密切联系。其实，许多科学家相信：以微积分为代表的连续数学统治了科学界几百年，但是，由于计算机的出现，以及生命科学、现代经济学、复杂性科学等的兴起，新型的离散数学将很快代替连续数学而登上统治宝座。

    作为一个数学爱好者，我深爱数学。我决不怀疑数学的重要性，特别是理工科（包括经济学，生命科学等）的青年学子，要想在学术界行走江湖，掌握基本的数学工具是立身之本。但在快速发展的高新科技面前，最古老也最神圣的数学学科也受到了冲击，一场数学革命势在必行。 

参考文献

[1] 李文林，《数学史教程》，高等教育出版社，北京，2000.

[2] V.J. Katz，A History of Mathematics, Reprinted by China Machine Press, 2004.

[3] 张树和，《数学聊斋》，科学出版社，北京，2008.

[4] S. Emmott (Editor-in-Chief), Towards 2020 Science, Microsoft Corp., 2006. 国家自然科学基金委编译，《面向2020年的科学》。