第五章﹕大自然中的分形

 

归纳以上所述,分形是具有如下几个特征的图形:

1.  分形具有自相似性。从上面两个例子可以看出：分形自身可以看成是由许多与自己相似的，大小不一的部分组成。

2.  分形具有无穷多的层次。无论在分形的哪个层次，总能看到有更精细的，下一个层次存在。分形图形有无限细节，可以不断放大，永远都有结构。

3.  分形的维数可以是一个分数。

4.  分形通常可以由一个简单的，递归、迭代的方法产生出来。

 

图（5.1）： 计算机产生的“树叶”型分形图

 

因为分形可以由一个简单的迭代法产生出来，计算机的发展为分形的研究提供了最佳环境。比如说，如果给定了不同的”初始图形”，不同的”生成元”，即迭代方法，利用计算机进行多次变换，便能很方便地产生出各种二维的分形来。(见图 5.1)

 

“等一等！”这次是王二在叫。他打断了正在向他们解释分形程序的张三，从书包里翻出一张照片给两个朋友看，兴奋地说：

“这是我去年暑假到峨眉山上拍的蕨类植物照片。你们看，右边图中的蕨类植物叶子，太像张三刚才用计算机迭代法画出来的分形了！”

 

三人比较了一下王二的照片（图（5.2））和张三生成的图形，的确很像。

 

图（5.2）：蕨类植物

 

“再等等！再等等！”王二又从书包里翻出更多的照片。说：

 

“让你们看看更多大自然的鬼斧神工！其实，美丽的分形图案在自然界到处都存在。我从小就喜欢自然之美，经常在动物植物的构造中发现些令人惊叹的图形，过去几年拍了不少有趣的照片，原来只觉得大自然太神奇了，现在才知道这就是‘分形’……”

 

图（5.3）是王二的部分照片。其中有我们常见的花菜、天空上的闪电、贝壳的图案式结构，老树枯枝……

图（5.3）：大自然的分形

 

王二很高兴今天在三人聚会中唱了主角，更高兴把分形的概念与他的生物专业联系起来了。他告诉朋友们：这几天，他研究这些照片和学到的分形知识后发现：比较传统的欧几里德几何中所描述的平滑的曲线，曲面而言，分形几何更能反映大自然中存在的许多景象的复杂性。现在，当我们了解了分形几何后，看待周围一切的眼光都和过去不一样了。当我们仔细观察周围世界时，会发现许许多多类似分形的事物。大如蜒起伏连绵不断的群山，天空中忽聚忽散的白云，小至各种植物的结构及形态，遍布人体全身纵横交错的血管，它们都或多或少表现出分形的特征。比如，“山”在我们眼中，不再只是锥形；“云”在我们眼中，不再只是简单的椭球形状；在它们貌似简单的外表下，有着复杂的、自相似的层次结构。如果说，欧氏几何是用抽象的数学模型对大自然作了一个最粗略的近似，而分形几何则对自然作了更精细的描述。分形是大自然的基本存在形式。无处不在，随时可见。

 

“我有一个问题”张三插嘴说：“不是说自相似性是分形的特点吗？我这儿几个计算机产生出来的图形的确是严格‘自相似’的。还有你们看科赫曲线、谢尔宾斯基三角形、这些简单分形，显然都符合自相似的条件。但是，这些……王二给我们看的这些‘大自然的杰作’，自相似性就不是那么严格了，这是怎么回事呢……”

 

李四笑了：“唉，张三不愧是学机械工程的，思考问题总是追求‘严格’，可是，大自然并不是谁造出来的机器啊，其中的偶然因素太多了……”

 

“你们听过分形的老祖宗曼德勃罗的故事吧……”李四指着王二照片中有海岸线的那张，说起了更多有关分形的历史。

 

尽管早在十九世纪，许多经典数学家已对按逐次迭代产生的图形（如科赫曲线等）颇感兴趣，也有所研究。但有关分形几何概念的创立及发展，却是近二,三十年以内的事。1973年，美国IBM公司的科学家曼德勃罗（B.B.Mandelbrot）在法兰西学院讲课时，首次提出了分形几何的构想，并继而创造分形（Fractal）一词。当时，曼德勃罗就是用海岸线作例子，提出一个听起来好象没有什么意思的问题：英国的海岸线有多长？

 

海岸线到底有多长呢？人们可能会不加思索地回答：只要测量得足够精确,总是能得到一个数值吧。答案当然取决于测量的方法及用这些方法测量的结果。但问题在于，如果用不同大小的度量标准来测量，每次会得出完全不同的结果。度量标准的尺度越小，测量出来的海岸线的长度会越长！这显然不是一般光滑曲线应有的特性，倒是有些象我们在第二、三章中所画的科赫曲线。你们来测量一下科赫曲线的长度吧！看看图（2.1），如果把图(a)中曲线的长度定为1的话，图(b)、图(c)、图(d)中曲线的长度分别为：4/3、16/9、和64/27……，长度越来越大，以至于无穷。这与用不同的标准来测量海岸线的情况类似。也就是说，用以测量海岸线的尺越小，测量出的长度就会越大，并不会趋向收敛于一个有限固定的结果。

 

张三也表示明白了：“啊，原来海岸线的长度随着测量尺度的减小而趋于无穷！”

 

李四接着说，“张三刚才说的也没错，海岸线的确不同于我们上面所举的线性分形……”

 

不过事实上，海岸线与科赫曲线很相似的。科学家们应用我们叙述过的估算“分形维数”的方法，以及逐次测量英国的海岸线所得的结果，居然算出了英国海岸线的“分形维数”大约等于(1.25)。这个数字与科赫曲线的“分形维数”很接近。因此，英国海岸线是一个分形，任何一段的长度都是无穷。这真是一个令人吃惊的答案。

 

再一次的聚会中，李四又更深入地解释了张三那天提出的问题。他说，我们在前面几章中所讨论的分形例子，都是由线性迭代产生的。它们所具有的自相似性叫做线性自相似性。也就是说，将原来的图形，经过缩小、旋转、反射等这类线性变换之后，能再组合成原来的图形。除了这种由简单的线性迭代法生成的分形之外，还有另外两种重要的生成分形的方法：一种是与随机过程有关，是线性迭代与随机过程相结合，第二种是用非线性的迭代法。

 

图（5.4） 扩散置限凝聚图

 

自然界中常见的分形，诸如海岸线、山峰、云彩、等等，更接近于由随机过程生成的分形。有一种很重要的，与随机过程有关的分形，也就是如图 （5.4） 所示的分形，叫做“扩散置限凝聚”(diffusion- limited aggregation) 。这种分形模型常用来解释人们常见的闪电的形成，石头上的裂纹形态等现象。

 

要估算随机过程生成分形的维数，或者是非线性迭代分形的维数，就不是像计算线性分形维数那么简单了。

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