先声明一下,本人对数学所知不多,喜欢读一些数学史,数学殿堂是过其门而不得入。然而,殿堂之上的匾额还是爱比划几下。
去年,对《数学及其认识》一书作了毛遂自荐式的全面审读(侧重文字风格、史实等),所论幸得作者在出版序言中认可,聊以自慰。
近年,闲暇时喜欢翻阅《实用数学手册》(第2版),但对该书第1页的叙述就看不顺眼。这不是此书的原因,而是数学本身的原因。该页“结合律”的表述我就觉得大而无当,同页的“指数幂”更是云里雾里。对于数学饱学人士或笃学人士,数学的基本用语可能是天经地义的。因此我轻易不敢写科普文章,免得误人子弟。本篇博文我更愿列入“个人学术展示”栏目。
结合律的公理式表达为:(a+b)+c=a+(b+c),(ab)c=a(bc).我想,交换律、分配律不同样可以归属于“结合律”吗?结合律其实是“轮合律”、“轮算律”或其它表示依次、轮换的术语。
结合律的话题其实只是一个引子,本文重点打算讨论的是所谓“指数幂”。
我们来看看社会的一些认知。百度百科在“指数”词条中称:在乘方a^n中,其中的a叫做底数,n叫做指数,结果叫幂。
《实用数学手册》第1页“1.1.3指数”中的文字表述有:“设m,n均为正整数,a为实数,则a的乘方(或乘幂)及各指数幂分别定义如下:”显而易见(这是数学常用表达,有时并不如此,我此处套用一下),乘方(或乘幂)及各指数幂都归属指数帐下。
再来看该书第137页:幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数。此处对于各函数的定义非常清晰与严谨。1、形如y=xμ的函数称为幂函数,式中μ是任何实常数;2、形如y=ax的函数称为指数函数,式中a是异于1的正数。3、形如y=logx的函数称为对数函数,式中a是异于1的正数。
我认为,应当在原有的“底数”基础上,创设“幂数”、“肩数”两个新术语。我另文《指数分家》将探讨新老指数问题,此处从略。指数应是取“仙人指路”之意,具体是观音的兰花指还是吕洞宾的仙人掌我就不知道了。
因为“指”的位置因人而异,普通学子怎知仙人八卦位置。由仙“指”在肩,我想是否可创“肩数”呢?不分仙人、凡人,肩位似乎是相似的。
先看一下乘方的解释:一个数自乘若干次所得的积,也叫乘幂。乘方由平方、立方外推而来,确实“方出有名”。
再来看“幂”的来路,幂,词典释为“覆盖东西的巾”、表示一个数自乘若干次的形式叫幂。对于所谓乘幂之“幂”,如把幂看成头巾,似乎嫌小,看成魔术师的万能盖布似乎又太大。幂在xμ中到底是指什么?
我的“幂数”一说可以看成是幂函数的简称。如此一来,形如y=xμ的数就是“幂数”。幂数、指数都是底数与其肩数的合称。幂数可以归入指数的范畴。因此可得:
推广的指数(与“泛函”类似?泛指数?):形如y=zx的函数称为指数函数,式中x、z是实常数及至复数。
1、指数(狭义,经典指数):形如y=ax的函数称为指数函数,式中a是异于1的正数。
2、幂数:形如y=xμ的函数称为幂函数,式中μ是任何实常数或复数。
使用广义指数的概念观察数学的所谓“基本初等五函数”,幂函数就降级了,实际就可以精简为“四函数”了:“指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。”进一步地,可以称为“指数函数、反指数函数、三角函数、反三角函数。”多对仗呀?看上去、读上去都铿锵有力。如君觉得天方夜谭,可仰首观天,孰不知冥王星都降级了嘛?!
指数与对数的关系也值得思索,用鲁迅先生的名言“横眉冷对千夫指”可以巧妙地把“对”、“指”连成一体。因此,可以得到相应的广义对数的定义(从略)。
综上所述,指数就是指数,幂数就是幂数。“指数幂”就是一个怪异的组合,显得非驴非马,指数耶?幂数也?结果使学子如坠五里雾中。
数学术语细细推敲有很多意思,如,对数中的真数“真”在哪?自然对数就”自然“了?方程“方”在哪?函数“函”什么?因为数学术语的引入是采用上上世纪的语言,当今来看,就会有一些别解。估计有一些中学老师也在琢磨,可惜我自说自话不知道。因为我并不谋求原创权。
在正统眼光中,我可能有点走火入魔,属于没事找事。幸好,这儿不是课堂,我也不把它当成科普。
注:本文观点不是对于书籍的评论,而是借用该书讨论数学术语问题。
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