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卷积有两种: 线性卷积和循环卷积。卷积窗也有两种: 线性卷积窗和循环卷积窗。卷积定理也有两种: 线性卷积定理和循环卷积定理。加卷积窗可使插值公式平方,加p阶卷积窗可使插值公式p次方, 泄漏成倍减小。
DFT是离散Fourier変换, 适用於循环卷积定理, 而不是线性卷积定理, 所以DFT中直接加线性卷积窗引起主辨宽度变宽, 降低了分辨力。应该在DFT中加循环卷积窗。全相位中的移位相加,将长2N-1线性卷积窗变成长N循环卷积窗,实现了在DFT中加卷积窗, 使插值公式的平方,而窗主辨宽度不変。
直观来看, N阶窗的频谱长N, 两个N阶的线性卷积窗的频谱长2N-1, 所以2N-1阶的线性卷积窗的频谱不可能是N阶窗的频谱的平方, 而是补零后的窗的频谱的平方。
两个N阶的循环卷积窗的频谱长仍是N, 所以N阶的循环卷积窗的频谱才是N阶窗的频谱的平方。
用一个简单例子说明线性卷积窗和循环卷积窗的区別和关联:
如N=3三角窗 w1=[1 2 1] 其DFT振幅为 F1=[4 1 1]
N=3三角窗线性卷积窗为 w2=[1 4 6 4 1] 其DFT振幅为 F2=[16 6.8541 0.1459 0.1459 6,8541];
F1长3, F2长5 F2不可能是F1的平方。
补零三角窗 w3=[1 2 1 0 0] 其DFT振幅为 F3= [4 2.616 0.3819 0.3819 2.616]
F3长5, F2长5, F3的平方为F2 线性卷积窗频谱是补零三角窗频谱的平方。
三角窗循环卷积窗为 w4=[6 5 5] 其DFT振幅为 F4=[16 1 1]
F1长3, F4长3, F1的平万为F4 循环卷积窗频谱是三角窗频谱的平方。
线性卷积窗和循环卷积窗的关联如下:
线性卷积窗为w2=[1 4 6 4 1], 经周期移拓后 (周期移拓是把原序列平移某个周期T的整数倍后再全部加起来所产生的新序列),即笫1位和第4位相加, 笫2位和第5位相加), 即得循环卷积窗[6 5 5]。
线性卷积和循环卷积之间的关系数学上描述如下
若x1(n)和x2(n)的线性卷积为yl(n), 则x1(n)和x2(n)的循环卷积yc(n)为yl(n)的周期延拓,下式中GN(n)为取主值区间
上式中GN(n)为取主值区间
但是这里不是把循环卷积窗直接加到信号上,而是由线性卷积移位形成的循环卷积窗.循环卷积窗直接加到0:N-1的信号上,在整数倍取样时也有平方振幅谱和水平相位谱,但在非整数倍取样时就没有平方振幅谱和水平相位谱。而移位循环卷积窗fft,在整数倍取样时有平方振幅谱和水平相位谱,在非整数倍取样时也有平方振幅谱和水平相位谱。
所以apfft是加2阶移位循环卷积窗fft。
还可构成3阶,4阶等高阶移位循环卷积窗fft。
三角窗3阶线性卷积窗为w5=[1 2 1]*[1 2 1]*[ 1 2 1]=[1 6 15 20 15 6 1]。
3阶线性卷积窗w5=[1 6 15 20 15 6 1 ], 经N=3周期移拓后 (即笫1位,第4位和第7位相加, 笫2位和第5位相加, 笫3位和第8位相加) 得三角窗3 阶循环卷积窗w6=[22 21 21] 其DFT振幅为 F5-=[64 1 1] 。
F1的3方为F5 . 即3阶循环卷积窗的插值公式是加三角窗fft插值公式的3次方。
图1是N=64的 1 2 4 阶hanning移位循环卷积窗fft的对数振幅谱和相位谱,.其输入数据分别是64 127, 253个,均作64阶FFT。.偶数阶移位循环卷积窗fft相位谱呈水平特性, 且不用校正。
相比N=64的 1 2 4 阶hanning线性卷积窗fft, 其输入数据分别是64 127, 253个,其对数振幅谱类同图一,但分别是64,128,256阶FFT,
所以移位循环卷积窗fft在输入数据和性能相同时, 其计算量小於线性卷积窗fft, 且相位谱不须校正。
图2 3阶hanning移位循环卷积窗fft
4阶移位循环卷积窗fft的相位谱能保持相位不须校正和水平相位特性.这点一开始不信,因为4阶循环卷积窗fft是4段N长的数据相加而成, 最后形成的N个数据中的每一个数据包含3-4个原始采样数据, 相位谱测的是多个原始采样相位值的加权和.
4阶移位循环卷积窗fft中相位谱测的是4N-3长数组中中间采样点(笫2N-1点)的相位
在4阶循环卷积窗fft中数据形成十分重要,以下二条差一点都不行;
1 t=-2*N+2:2*N-2,确保中间值为初相位
2 4阶循环卷积窗N为周期移位相加中有4种形成方式:
s1=[s(1:N)+s(N+1:2*N)+s(2*N+1:3*N)+[s(3*N+1:4*N-3) 0 0 0];
s2=[0 s(1:N-1)]+s(N:2*N-1)+s(2*N:3*N-1)+[s(3*N:4*N-3) 0 0];
s3=[0 0 s(1:N-2)]+s(N-1:2*N-2)+s(2*N-1:3*N-2)+[s(3*N-1:4*N-3) 0];
s4=[0 0 0 s(1:N-3)]+s(N-2:2*N-3)+s(2*N-2:3*N-3)+[s(3*N-2:4*N-3)];
只有s3保持相位不须校正和水平相位特性,即笫一段前补2个零,笫四段后补1个零另外3种都是左右倾斜线,数值也不对
s3的笫一个象素是s(N-1)+s(2N-1)+s(3N-1)三个采样的相位加权和, 但s(N-1和s(3N-1)的相位相对中问点s(2N-1)正好相反, s(2N-1)和s(3N-1)的窗加权值又正好相同,所以笫一个象素相位值只由s(N-1)采样的相位决定,从而保持初相位不须校正和水平相位特性
2,4,6阶等偶数阶移位循环卷积窗fft的相位谱均和apfft一样, 无噪时都具有水平相位特性,且保持相位不须校正.由於水平相位特性是峰值泄漏产生的, 有噪时,2cfft的峰值泄漏仍较大, 仍具有水平相位特性, 而4,6,8阶峰值泄漏太小,水平相位特性消失. 由於水平相位特性可用於判断频谱峰值是否只是一个频率成分,这个有用性质只有apfft才具有.
1,3,5阶等奇数阶移位循环卷积窗fft的相位谱均和传统1阶fft一样,相位须校正
4阶移位循环卷积窗fft(4cfft)的相位校正精度高, 可用於一位时移的4cfft/4cfft校正法, 虽相位精度比N位时移4cfft/4cfft校正法要低, 但总的相位精度也较高, 但输入数据少了, 所以一位时移的4cfft/4cfft校正法是一个较好的选择. 如N=256的一位时移4cfft法只须1021+1=1023个输入. 时移法须二次FFT, 但二次实FFT可合成一次复数
FFT. 一位时移的4cfft/4cfft校正法程序参见振动论坛日志
http://home.chinavib.com/home.php?mod=space&uid=62061&do=blog&quickforward=1&id=18060
<自动搜索峰值的 apfft/apfft ,fft/apfft 和一位时移4cfft/4cfft校正程序>
一位时移高阶(4阶或6阶)移位循环卷积窗fft.能确定相隔一个频率点的二个相邻频率成分的频率相位和振幅. 如
图7所示的相隔一个频率点的6个相邻频率成分, 这是不能再靠近的密集频谱了, 实现了密集频谱分析和校正.
图7 相隔一个频率点的6个相邻频率成分的对数振幅谱
4cfft的可校正密集频谱, 在极低频率测量中将发挥作用,它可抑止镜像频率的干扰,在频谱上只要>0.5的谱峰就可测量,>1的谱峰测量有较大精度(频率振幅相位精度均在10(-5)以止).下表一显示一位时移apfft/apfft和一位时移4cfft/4cfft在极低频时的误差. 在f=0.775Hz时,4cfft仍可测定.
表一 一位时移apfft/apfft和一位时移4cfft/4cfft在极低频时的误差.
apfft/apfft_1 N=32 fs=32 cfft/4cfft_1 N=16 fs=16
f=1.15 a=1 p=200
-6.2764e-004 2.4195e-001 -2.5040e-005 -2.4300e-007 -7.7446e-006 1.6895e-004
f=0,875 a=1 p=100
5.0070e-004 - 2.1690e-001 -3.9412e-004 -7.9718e-007 -4.4183e-006 5.6486e-004
f=0.775 a=1 p=100
-3.3157e-003 1.0835e+000 4.4078e-003 1.1730e-005-3.9668e-005 -7.9784e-003
f=0.675 a=1 p=100
-6.7500e-001-1.0000e+002 4.1600e-002 -2.6027e-005 5.1837e-005 1.3845e-002
图8 是1,2,4阶移位循环卷积矩形窗的频谱图, 由图可见,高阶移位循环卷积窗频谱的主辨宽度变窄, 在0.707处,1cfft宽约2.7652, 4cfft宽约1.4 .
图8 1,2,4阶移位循环卷积矩形窗的频谱图
图9 1,2,4阶移位循环卷积hanning窗的log10频谱图
求相位差用APFFT,对频谱间隔2个以上频率分辨率信号校正精度高.
用4cFFT,对频谱间隔1个以上频率分辨率信号校正精度高.
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