博文
量子力学中可精确求解的问题
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我们常常听说量子力学之中可以精确求解的问题少之又少，甚至有在举例时称“一维无限深势阱问题是量子力学中唯一可以精确求解的问题”。这样的陈述对于本身学过量子力学并求解过几个模型的人来讲，会付之一笑；但对许多初学者，难免会产生误导。说实在的，量子力学中有多少值得或不值得大家研究的问题，这其中有多少算得上精确可解，我说不清楚。原因很简单：量子力学中有多少问题？多得说不清！在这些问题之中具体又有几个可以被精确求解，我也不知道。所以我也只能说说我所知道的。即使如此，这些问题的个数也是相当的多，而不是少之又少。
如何去定义精确（或严格）可解模型，不同领域的人会有稍稍不一样的看法。但我想纠结在这一点上意义不大。为清楚起见，我把问题分为四类：1）原则上严格的可以求得系统所有的能级以及对应的波函数；2）原则上严格的可以求得系统所有的能级和少数波函数，如基态；3）只能求得系统的基态能量和波函数，或两者其一；4）类可精确求解问题。
也许你会不同意我的说话，但我知道，在一些领域之中（不是一个人，是一个很大的领域），第三类问题同样也被叫做有严格解。为什么还有叫“类可精确求解的问题”？因为我也知道，在做精确解领域的人常常有学术上的洁癖（我没有），这种洁癖会导致用一个简单的判据直接否定模型的可解性。但另外，学术研究中确实存在这样一些模型，它们的解，在一定条件下（如大数极限）跟所谓精确解几乎一样，几乎一样到什么程度？有洁癖的人会问。我告诉他，可以到计算机32位浮点数分不出差别的程度。尽管如此，我也得承认，它只是一种近似解。
我这种分法也只是一种草草的分类，在每一类之中，你又可以把单体，两体，多体问题分开来谈。下面我仅仅举一些例子，并不打算给出具体解法。
1）原则上严格的可以求得系统所有的能级以及对应的波函数
这类问题其实很多，单体问题包括但不局限于：
一维（或多维）无限深势阱中的单粒子问题；
一维（或多维）谐振子势中的粒子问题；
氢原子问题；
按：一维单粒子问题还有许多可解的，有兴趣的可以到朗道的《非相对论量子力学》书上查看章末所附的习题，有许多奇里八怪的势阱中的单粒子，居然可被严格解得（主要是束缚态），天哪！
一维横场Ising模型（粒子数可以任意甚至无穷大）；
一维横场XY模型（粒子数可以任意甚至无穷大）；
2）原则上严格的可以求得系统所有的能级和少数波函数，如基态。
这类问题也相当的多，包括所有可以用Bethe-ansatz方法可能求解的一维或其它问题（粒子数可以任意甚至无穷大）。多得说不清，有兴趣的可以参考：
Beautiful models, by B. Sutherland, http://www.worldscibooks.com/physics/5552.html
Bethe-ansatz求解模型曾经是一个很大的研究领域，现在有点偏向数学物理了。大家大多知道李杨的宇称不守恒，但也许不知道杨先生的很多工作属于严格可解模型这个领域，比如他的杨-巴克斯特方程。大家也许知道Hans Bethe因为恒星方面的工作获得了诺贝尔物理学奖，但可能不太知道Bethe最出名的工作是他在1930s 提出的这个ansatz.
按：其实很多Bethe-ansatz可解的问题也可归到第一类中去。Bethe-ansatz原则上也给出了形式上的波函数，只是相当难以讨论实际的问题。为什么？唯度太大了啊！
3）只能求得系统的基态能量和波函数，或两者其一
这类问题其实也不少，包括并不限于：最近研究比较热门的Kitaev honeycomb 模型，Majumdar-Ghosh 模型，AKLT（Affleck , Kennedy , Lieb , Tasaki）模型等等。
4）类可精确求解问题
Lipkin-Meshkov-Glick model
这个模型在特殊情况下也可精确求解，比如在各向同性点，用简单的角动量偶合方法就可以求解。在各向异性的一般情况下，可以用HP变换求解，相当于1/N的近似；也说是说，对一万个自旋的系统，你得到的精度比方说是四位有效数字；那对一亿个自旋的系统，你可以精确到八位有效数字。嘿嘿。
这里我仅仅举了几个例子，嘿嘿嘿。欢迎大家拍砖，有时间我再具体补充；也欢迎您来补充，我来点评。
https://wap.sciencenet.cn/blog-273184-442928.html
上一篇：我是如何被综述和写综述的
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如何去定义精确（或严格）可解模型，不同领域的人会有稍稍不一样的看法。但我想纠结在这一点上意义不大。为清楚起见，我把问题分为四类：1）原则上严格的可以求得系统所有的能级以及对应的波函数；2）原则上严格的可以求得系统所有的能级和少数波函数，如基态；3）只能求得系统的基态能量和波函数，或两者其一；4）类可精确求解问题。
也许你会不同意我的说话，但我知道，在一些领域之中（不是一个人，是一个很大的领域），第三类问题同样也被叫做有严格解。为什么还有叫“类可精确求解的问题”？因为我也知道，在做精确解领域的人常常有学术上的洁癖（我没有），这种洁癖会导致用一个简单的判据直接否定模型的可解性。但另外，学术研究中确实存在这样一些模型，它们的解，在一定条件下（如大数极限）跟所谓精确解几乎一样，几乎一样到什么程度？有洁癖的人会问。我告诉他，可以到计算机32位浮点数分不出差别的程度。尽管如此，我也得承认，它只是一种近似解。
我这种分法也只是一种草草的分类，在每一类之中，你又可以把单体，两体，多体问题分开来谈。下面我仅仅举一些例子，并不打算给出具体解法。
1）原则上严格的可以求得系统所有的能级以及对应的波函数
这类问题其实很多，单体问题包括但不局限于：
一维（或多维）无限深势阱中的单粒子问题；
一维（或多维）谐振子势中的粒子问题；
氢原子问题；
按：一维单粒子问题还有许多可解的，有兴趣的可以到朗道的《非相对论量子力学》书上查看章末所附的习题，有许多奇里八怪的势阱中的单粒子，居然可被严格解得（主要是束缚态），天哪！
一维横场Ising模型（粒子数可以任意甚至无穷大）；
一维横场XY模型（粒子数可以任意甚至无穷大）；
2）原则上严格的可以求得系统所有的能级和少数波函数，如基态。
这类问题也相当的多，包括所有可以用Bethe-ansatz方法可能求解的一维或其它问题（粒子数可以任意甚至无穷大）。多得说不清，有兴趣的可以参考：
Beautiful models, by B. Sutherland, http://www.worldscibooks.com/physics/5552.html
Bethe-ansatz求解模型曾经是一个很大的研究领域，现在有点偏向数学物理了。大家大多知道李杨的宇称不守恒，但也许不知道杨先生的很多工作属于严格可解模型这个领域，比如他的杨-巴克斯特方程。大家也许知道Hans Bethe因为恒星方面的工作获得了诺贝尔物理学奖，但可能不太知道Bethe最出名的工作是他在1930s 提出的这个ansatz.
按：其实很多Bethe-ansatz可解的问题也可归到第一类中去。Bethe-ansatz原则上也给出了形式上的波函数，只是相当难以讨论实际的问题。为什么？唯度太大了啊！
3）只能求得系统的基态能量和波函数，或两者其一
这类问题其实也不少，包括并不限于：最近研究比较热门的Kitaev honeycomb 模型，Majumdar-Ghosh 模型，AKLT（Affleck , Kennedy , Lieb , Tasaki）模型等等。
4）类可精确求解问题
Lipkin-Meshkov-Glick model
这个模型在特殊情况下也可精确求解，比如在各向同性点，用简单的角动量偶合方法就可以求解。在各向异性的一般情况下，可以用HP变换求解，相当于1/N的近似；也说是说，对一万个自旋的系统，你得到的精度比方说是四位有效数字；那对一亿个自旋的系统，你可以精确到八位有效数字。嘿嘿。
这里我仅仅举了几个例子，嘿嘿嘿。欢迎大家拍砖，有时间我再具体补充；也欢迎您来补充，我来点评。
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