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研学小记: 卷积不“卷”
邹谋炎
卷积是由两个函数h(t)和f(t) 产生出第三个函数g(t) 的一种运算,按以下公式实施:
∫-∞ ∞h(t-τ )f(τ)dτ = g(t)
对卷积运算的历史源头缺乏考证。至少从1903年起,德国数学文献中就有Faltung和convolution这些称呼,其中含有“卷摺”的含义。也许从那个时候起,老师们就这样教导学生做卷积运算:为了计算每个时间点 的卷积结果,需将h(τ)翻转为h(-τ),再平移为h(t-τ),与f(τ)乘积的结果,求面积。这个解说是没错的,并且因为h(τ)要被翻转,成为“卷积”这个称呼的来源。但问题是,当卷积用于工程时(例如信号处理)这个解释符合物理事实吗?例如,一个线性系统的脉冲响应是h(t), 输入信号是 f(t), 在获得系统输出的过程中,必须要求h(t) 或f(t) 在时间上(或空间上)必须被翻转吗?这显然不是事实!现在的问题出在哪里?
问题出在刚才的解说仅仅是一个数学解说。另一种解说就没有这样的困难:将h(t)平移一个时间量τ成为h(t-τ),乘在τ处的函数值f(τ),取遍所有τ,将乘积累积起来,就得到卷积的结果。后一种解释其实是最老的解释:叠加原理。按这种解释,卷积不必“卷”。
不“卷”的理解给卷积计算上带来直观性的方便。以两个有限长序列的有限卷积为例,卷积计算可以和多位数乘法的做法完全类似。
例:h(n) = { 2 5 3}; f(n) = { 3 0 12 4 }。 计算格式可以如下:
h(n): 2 5 3
f(n): 3 0 12 4
-----------------------------------------------------------------------------
6 15 9
0 0 0
24 60 36
+ 8 20 12
---------------------------------------------------------------------------------
g(n): 6 15 33 68 56 12
事实上,不“卷”的计算方法已被用来构造数字化的卷积器。
不“卷”给多维卷积计算和分析带来更多直观的好处。作为例子,下面随便构造了两个几何图形,假定这是两个定义在二维平面上的函数,图形内是1,图形外是0。现在希望计算这两个有限支持上的二维函数的卷积,只要给出卷积结果的支持域就好(这是分配函数论中关心的问题)。这留作问题,有兴趣者,不妨练习一下,把结果放到网上。这个问题保留一个星期。
结论:学习理论时不要受传统和思维定势的束缚。
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GMT+8, 2024-11-23 13:19
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