与上面的困惑相比，本回书的困惑只能算一些小困惑。通常，每个人喜欢自己做的工作，也自然而然地将自己的结果当作标准去评判其他人的工作。由于现在计算机模拟已成为主流的研究技术，所以经常会有人用计算机模拟的结果做为标准来评判精确解。尽管学术界（特别是做精确解的科学家群体）公认计算机模拟的结果不能做为精确解的评判标准，但是还是时常碰到这样的困扰。计算机模拟的结果不能做为三维伊辛模型精确解评判标准的道理很简单。计算机模拟通常只能模拟有限个数的自旋体系，对于一个无限大的多体自旋间相互作用体系无能为力。通常需要引入一些近似，如采用有限个数的自旋做为基本单元构成原胞，利用周期性边界条件来模拟无限大的系统。对于研究关联长度在临界点达到无限大的临界现象，这种近似可能会带来很大的系统误差。

另外一个小困惑就是计算机模拟的结果现在基本上已经趋于一致。无论是用低温级数展开、高温级数展开，还是用重正化群理论或蒙特卡罗方法，最后得到的三维伊辛模型临界指数近似为α = 0.110, β = 0.3265, γ = 1.2372, δ = 4.789, η = 0.0364 和 ν = 0.6301, 居里温度近似为1/K_c = 4.511505。而且，这些计算机模拟的结果均具有很高的精度。这种计算模拟的结果的高度一致性和很高的精度是否可以直接说明这就是精确解，或另有隐情？从表面上看，似乎很难想象这么多年来由世界各地的许多科学家用不同的计算方法独立地得出的结果均高度一致地"错误"。实际上，这不是错误或正确的问题，只是不精确或精确的问题。任何近似方法获得的结果均不可能与精确解完全相等。在这些近似的计算技术之间存在着非常密切的关联：在低温级数展开、高温级数展开的展开参量之间存在函数关系；坐标空间的重正化群理论与动量空间的重正化群理论是一对同胞兄弟；尽管重正化群理论是在临界点附近展开，在更深层次上与低温级数展开、高温级数展开也有密切的联系；蒙特卡罗方法是一种简便的计算技术，在开展临界现象方面的计算时有时要利用其它计算方法的过程或结果；计算机计算能力的一致性也导致不同近似方法结果的一致性；……Wilson由于发展出重正化群理论而获得诺贝尔奖, 极大地推动了重正化群理论在许多领域的应用，成为主流的时尚技术。目前重正化群理论的计算结果或多或少成为评判其它计算方法的结果的标准，利用蒙特卡罗等其它方法的科学家有时也有意无意地把重正化群的临界温度和临界指数结果作为其出发条件或最后的评判标准。但是，实际上，重正化群理论在一定程度上与级数展开类似，因为在其计算过程中也引入了各种近似，如展开、微扰、线性化、重正化等等。在这些近似过程尽管提炼出了一些有价值的信息使问题可以计算，也同时失去了多体相互作用系统大量的信息。例如，计算过程中的线性化忽略了系统的非线性项，而非线性项在临界点附近可能起决定性的作用。从而，与级数展开类似，重正化群理论也存在严重的系统偏差问题。这些计算机模拟技术的系统偏差问题与其初始的出发点的物理概念和图象、计算过程中忽略的重要因素等密切相关。所以，系统偏差是这些理论和计算方法内禀的，不能通过技术上改进计算精度来完全消除的。这意味着，由不同近似方法估算出的临界温度和临界指数可以有更高的精度，但不一定能保证具有更高的精确度。这与下面的情况类似，一个人拿着一把具有很高精度和很高系统误差的手枪，他总是能以很高的精度打中9环，但永远不可能打中10环的目标。

在求解三维伊辛模型精确解的探索过程中，我还遇到一个不算是困惑的困惑：2000年美国Sandia National Laboratories的S. Istrial证明自旋玻璃（相互作用的符号可以随机变化）的三维伊辛模型属于一类理论家永远无法解决的问题。将问题归结于图理论的问题后，他证明自旋玻璃三维伊辛模型为数学上的NP-complete (computationally intractable)问题，主要原因是三维伊辛模型是非平面的、存在拓扑学的结。B.A.Cipra随后在Science发表评论文章说三维伊辛模型精确解可能是理论学家永远无法实现的梦想。这在非专业层面造成了一定误解，有人误认为三维伊辛模型不存在解析解。实际上，即使是被Istrial证明是NP-complete问题的自旋玻璃三维伊辛模型，也不是不存在解析解，而是计算不可行，可能用人力或计算机求不出来。我认为，实际上没有不存在解析解的科学问题，因为自然界的解是自然地存在着的，只有由于人的思维局限暂时无法求解的问题。NP 是英文 Nondeterministic Polynomial 的缩写，意思就是非确定性的多项式时间。NP问题本身是数学界目前未能严格证明的问题。NP-complete 是 NP 中的难题，解决了NP-complete问题，就解决了NP问题。但若有一个属于 NP 而不属于 NP-complete 的问题解决了，则其它的 NP 问题不一定可以解决。用NP-complete问题来说明三维伊辛模型不存在解析解只能给大家增添“不算是困惑的困惑”。更何况，Cipra发表在Science的评论文章中提到，Istrial称完全铁磁性的三维伊辛模型可能属于一个例外，不属于NP-complete问题。而我探索的就是铁磁性三维伊辛模型。

《标准之困惑-2,3,4》主要是介绍了我在一个具体科学研究问题方面遇到的标准之困惑。衷心希望能得到物理和数学界高人的指点，以便早日解除心中的困惑。在下一篇博文《标准之困惑-5》我将继续《标准之困惑-1》中对科学研究的评价标准的讨论。

(详细内容见Zhi-dong Zhang, Conjectures on exact solution of three - dimensional (3D) simple orthorhombic Ising lattices, http://arxiv.org/abs/0705.1045)  

已发表在Philosophical Magazine, 87(34), 5309 – 5419 (2007)。http://dx.doi.org/10.1080/14786430701646325

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