William Hodge的调和积分理论有胆识而富于想象，他看到了如何将几何函数论推向n维情形，他对基本定理的证明包含着一系列缺陷。后来，Hermann Weyl通过他早年的势论，才以巧妙的办法弥补了那些不足。

 

De Rham教授的这本书是微分流形的导引，它的主题看来是第一次以不同于Hodge-Weyl的方法详细地证明了Hodge的基本定理。他在写这本书时，一定很愉快，因为从de Rham理论可以自然达到Hodge理论的顶点。

 

在n维几何里，链与上链，或积分与被积函数，是基本的对偶概念。在边缘算子是整体性的时候，上边缘算子（即外微分）是局域的，这使上同调论成为分析方法和应用的更为方便的工具。Poincare看到重积分的重要性提出了他的主要“定理”，而Elie Cartan发展了外微分的基础，并将它用于力学、微分系统和微分几何。完整的理论则是de Rham1931年的著名论文完成的。论文很长，因为那时的拓扑学是同调论，还没有上同调的概念。

 

同时包含链和上链的是“流”的概念。这是de Rham引入的，而且有效贯穿在本书中。0维流是一个（Laurent Schwartz意义下的）分布，现在已成为数学的基本概念。

 

关于Hpdge定理，现在有些别的证明，最自然的方法也许是用伪微分算子；Milgran-Rosenbloom证明用热传到方程的方法，有着广泛的影响；Morrey, Eells和Friedricchs有一个变分法的证明。

 

Hodge定理可以在多方面展开。它最重要的方面在于带系数束的上同调理论，这是Leroy引进的，Henri Cartan和J-P. Serre在复结构上做了发展，获得了巨大成功。它的调和理论最显由小平邦彦（K. Kodaira）研究过，在它的几何内容发现以后，调和理论借助S. Bochner的思想证明了上同调群的“零定理”，这些定理很重要。

 

在流形上的椭圆算子这个领域，现代的发展（如指标理论和谱理论）已经超越了本书的内容，然而我相信，热心于新结果的数学家也会专心地流连于此，不但能学习数学，还能学习数学的风格。