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《一个数学家的辩白》摘抄及简评
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题记：作为一个学习成绩几乎总是倒数的老学生，胆敢对一位大数学家的著作说这说那，除了兴趣和作为一名读者的身份之外没有别的原因——作为一名观众，他有权评论台上任何一位演员，没人要求观众自己会演戏方可评论。
其实文中绝大部分是摘抄，评论极少。摘抄为的是把有助于从整体上了解数学和数学家的重要句子抽出来，集中到一起，方便细细品尝。评论嘛，是名符其实的外行评论内行。不过不管怎么样，一、作为一名读者，我有权评论；二、作者就是写给非专业的普通读者看的。
之所以要啰里啰嗦地说明为何“敢”评论，是世俗的原因，不得已而为之。二十年前左右，我喜欢捧着个书看，村里曾有人用那种半开玩笑半讽刺的口吻说“大学生呢！”。现在，我又发现现实生活中绝少有人对“真正的问题”感兴趣，相反却是逃避和讨厌——因为那会带来不安，所以不如糊涂快乐地活着。这是胆怯还是懒惰还是得过且过？所以我想，我不过是从一个小村庄里走出来，走进了一个960万平方公里的大村庄而已。
后排男生，2010年11月3日晚
英国人在考试竞争中总是比其他国家的人更有优势（也许除了中国人以外）
对一个认真的人来说，创造才是生活的唯一目的。
假如一个人有真正的才能，他就应该乐于牺牲几乎所有一切，以充分发挥自己的才能。
正像W·J·特纳(Turner)曾说过的一句实话那样：只有那些自以为“博学”的人(令人产生不悦之感之称谓)，才不去赞扬“真正的名家”。
这是学派之争？哈代好像认为一些人在以博学的名义自夸，所以“不悦”？是不是有这种可能？一个学派总要阐述自己的立场，如果有人就是“博学”派，不好在当今的学科分类中找到位置怎么办？
哈代自己的见识水平好像也仅仅体现在数学这一领域，但数学只是许多学科的中的一种，它的地位体现在一种作为制造和维护工具的工具学科，是理工大厦的基础。这只是学科分工的需要，不能由此说明数学就比其它理工科要“高贵”——貌似许多学数学的就是这样认为？也更不能说明数学比人文艺术等等更“高贵”。高不高贵，不过是把世俗生活的观念牵强地引入到学科属性上来，这反倒显得做这件事情的人是多么地“俗”。学科分工不同而已，搞什么搞？搞来搞去倒不像是两个孩子在比谁的爸爸更强，而是像两个父亲在争得满脸通红地比儿子。
应该是这样？哈代之所以对“博学”二字讨厌，一是认为“而只有极少数人可做得真正好。而能做好两件事的人只有寥寥无几的了”（见§3）。二是，他并不讨厌真正博学的人，只是讨厌自以为博学的人。
而假如他为了做其他领域的普通工作，而放弃了任何一次发挥自己才能的适宜的机会，那么他就是愚蠢的。这样的牺牲，只有在经济需要或年龄条件变化的情况下才是情有可原的。
没什么事我可以做得格外地好。我之所以做我的事，是因为它进入了我的生活之路，我的确从来未有机会做别的什么事
确实，大多数人什么事也做不好。因此，他们选择什么职业也无关紧要。
雄心是世上几乎所有最佳工作成果的驱动力。
我们必须提防一种在科学辩解者中所常见的谬论，那就是认为从事着对人类有益的工作的人，在做这项工作时一直想着自己的工作对人类有益。
最后一个就是雄心壮志，期望得到名声、地位甚至随之而来的权力和金钱。……，而且可以肯定，任何一个体面的人都没有必要为有这些动机而感到耻辱。
对我们来说希腊人是最早而且至今仍是“真正的”数学家。东方的数学可能是满足兴趣和好奇，而古希腊的数学则是实实在在的。
当爱斯奇里斯(Aeschylus)被遗忘时，阿基米德仍将为人们铭记，因为语言文字会消亡，而数学的思想却永不会死亡。“不朽”这个词可能不太高明，不过也许数学家与它的含义最投缘了。
一个专业相对其它专业的自豪感，可见一斑。
数学家不必因将来会对其不公而煞有介事地忧心仲忡。不朽通常很荒唐，也很残酷……。如果能用现钞评估的话，数学的名誉将是最稳定义最可靠的投资。
可能的话，哈代先生是不是会为名誉之投入和产出做一个详细的曲线图出来呢？
豪斯曼拒绝些职业是因为他理想远大，是因为他不屑于成为一个20 年后就被人遗忘的人。
看来哈代对理想与名誉的理解与追求，跟一个整天只知道逼小孩子学这学那、逼大孩子考名校的中国父母相差无几呢。
正像色彩和文字一样，数学家的思想也必须和谐一致。优美是第一关。
一些软件行业的专业书，也经常强调优美/优雅呢。是不是这样：东方人认为“术”就是“术”，“唯手熟耳”，没什么优雅不优雅？或者是英语中vvv一词的意味较中文中的“优雅”要轻很多？
对数学真正感兴趣的人很可能比对音乐感兴趣的要多。
难道哈代那个时代西方就没有流行音乐？
不懂音乐只是有些掉面子，而所有的人都如此害怕数学这个名称，以至于每个人都由衷地强调自己没有数学细胞。
然而，一个布局问题简而言之就是一次纯数学的练习(整场比赛可能不是，因为心理也会起作用)，每一个赞叹棋类布局的人，实际上是在为数学的美而喝彩，尽管这种优美相比而言是较低档次的。棋类布局问题是数学的赞美曲。
拉郎配。
世上没有什么事情比发现或再发现一条真正的数学定理更能使知名人士(和那些轻视数学的人)快乐得多。
这是为什么？是“荣誉”的驱动？仅举几例就能说明问题？
同样地，大多数最好的数学也是如此；数学极少有实用价值，而这实用的极少数，相对来讲还较乏味。
别无选择，我只得又回到希腊数学，这里我将阐述并证明两条著名的希腊数学定理。这两条定理从思想到运算都很简单，同时，毫无疑问，又是最高层次的。每一条定理都如同刚发现之日一样清新，一样举足轻重——2000 年来它们一直保持着青春。
我认为数学家是概念的造型者，美和严肃是评价其造型的标准。
行文至此，要想再有所进展，我就必须提供为每个数学家公认为第一流的“真正的”数学定理的例证。然而此处，我却因我写的东西产生的种种约束被缚住了手脚。
很诚实的作者。
欧几里德定理对算术的整个结构都至关重要。素数是算术组成的原料；欧氏定理确保了这种原料的充足性，但毕氏定理有更广泛的运用，它也提供了更好的课题。
怀特海曾说：“数学的确定性取决于它完全抽象的普遍性。”
棋盘和棋子只是用来刺激我们思维的工具，与真正的下棋对奕相比，就好比黑板、粉笔之于数学课中的定理关系。
其实事物间的区别与其共性一样使人着迷。我们选择朋友并不是因为他们具备人类的所有优点，而是因为他们有其本身的特点。在数学中道理亦然。因此我可以毫不夸张地引用怀特海的话来证明我的观点：“被适当的特殊性所制约的广泛的普遍性，才是富有成果的概念。
数学理论好像分层分布，每一层的内部以及与上下层之间由错综复杂的关系网连接起来。层越往下，理论就越深，也就越难懂。
例子是不胜枚举的。但“深刻性”甚至对一个能识别它的数学家来说也是不易说清的，因此我也不妄想还有什么妙语能解开读者的迷惑。
如今我们想当然认为真正的数学定理就实质内容、严肃性与重要性而言，是无与伦比的。对训练有素的天才来说，事物的“美”中也无不蕴含数学的奥妙，只是这种奥妙更难于言传。
许多只有专职数学家才能理解的更难的定理，其证明也一样简明。在证明数学定理时不需要很多“情况”，因为“列举情况”实际是数学论据的较为呆板的形式。数学证明应当如星座般清晰、明了，而不应像银河里的星束分散而模糊。
我想用棋子自身的感受来加强我的论证。必庸置疑，一个象棋大师，一个重大游戏、比赛的参与者，从心理上是很鄙视用纯粹的数学知识去下棋的，他们积累了不少经验，在紧要关头总能显露身手，“不管他怎么走，我头脑里已储存了对付的方法”。象棋首先是心理上的较量，而不仅仅是一些数学小定理的积累。
如果科学或艺术的发展能增加资源、方便人类，或增加人们情感上的愉悦，那么我们就可以认为它们是“有用”的。
日常生活中有人会说，“这个有用吗？”、“省省吧，别整那些没用的”等等。其实对于什么才是真正“有用”，恐怕说的人也没个明确的概念，只是模模糊糊地觉得“有利”才“有用”。
数学应用的更高层次，即运用于各种创造性艺术中，将与我们的研究无关。数学如同诗歌、音乐一样，能训练并陶冶人的性情，所以对数学家或数学爱好者来说，沉迷于其中，其乐也融融。
因为大多数“有用”的学科对我们中的多数人来说往往是学而无用的。生理学家和工程师对社会功用不小，但对常人来说，生理学和工程学并无多大用处(尽管他们的学习也许会基于其他原因)，就我自己来说，我从未发现我拥有的纯数学之外的科学知识给我带来过些微的益处。
为何非要在“有用”、“无用”上作个定论？一位恋人在心甘情愿地付出外人所想象不到的代价，而她/他自己也只是一味地去做，并没有意识到这一点。然后你跑到人家面前说“你这样做有用吗？”——拜托！人家根本就没想过、也不会去想这个问题！并不是所有事情都要分出个“有用”、“无用”才能继续下去的。
可是，世俗就是这样，它非要你说出个“有用”或者“无用”来。于是哈代先生就不得不耐心地解答？
事实上我们不得不诧异，科学知识给普通人带来的实用价值是如此之小，如此乏味，而且毫无特色，其价值似乎与其在外的功用名声成反比。
重要的问题是，数学的有用性究竟能延及多远？哪些数学领域有用性最强？怎样才能仅仅以这种“有用性”为理由，来为认真的数学研究，即数学家们所理解的数学研究进行辩护？
不可否认，初等数学中的很大一部分——我用的“初等”一词是职业数学家使用的那种意思，它包括诸如有关微积分等应用知识——是具有一定使用价值的。数学中的这些部分整体来说是比较枯燥的，它们是最乏美学价值的部分。“真正”的数学家所研究的“真正”的数学，如费马、欧拉、高斯和阿贝尔所研究的数学，几乎是完全“无用”的。(这一点对“实用”数学和“纯”数学来说都是如此。)以“实用性”为标尺来衡量一个天才数学家的工作是不可能的。
但是这里我要纠正一个错误概念。有人认为纯数学家以其工作的无用性为荣㈨，并宣称他们的工作没有实际应用价值。这种念头是基于高斯的一句不谨慎的话，其大意是：如果数学是科学中的皇后，那么数论由于其极端无用性而成为数学中的皇后——我从没能找到这话的确切引用。我敢肯定高斯的原话(如果真的是他说的)被很粗鲁地曲解了。如果数论能够被应用于任何实用的、显赫的目的，如果它能像物理甚至化学那样直接增加人类的欢乐和减少人类的痛苦，那么高斯或其他数学家决不会愚蠢到为这种应用哀叹或后悔。但是科学可为善服务，也可为恶助纣(特别是在战争时期)，这样高斯和另一些数学家就应该庆幸有一种科学，就是他们的科学，由于其远离人类日常的活动而保留了其纯洁性。
人们很自然地认为“纯数学”和“应用数学”的实用性有很大差别，这是一个假象：这两种数学之间有很大的差别(这一点我将在下面详述)，但并没对它们的实用性有很大影响。纯数学和应用数学的区别在哪里？对于这个问题数学界有统一而明确的答案。
有另一种实在性，我把它叫做“数学实在”，对于它的本质在数学界和哲学界都没有统一的认识。一些人认为它是“精神”的，某种意义上我们构造了它；另一些人则认为它是外在的，独立于我们。一个人如果能对数学实在给出一个令人信服的解释，他将可以解决形而上学中大多数难题。如果他的解释中也包括了物理实在，这些难题就都解决了。
我相信数学实在存在于我们之外，我们的任务是去发现或观察它，并且，我们所证明的定理，我们夸耀称之为“创造物”的，只不过是我们观察记录而已。自柏拉图以来很多享有盛誉的哲学家都持有此观点，虽然形式各异。
纯数学和应用数学间最大的差异也许表现在几何学方面。纯几何包括很多分支，如射影几何、欧几里得几何、非欧几何，等等。每一种几何都是一种模型，即概念构成的造型，应该按照各个独特造型的意义和美加以鉴别。几何是一幅图像，是很多方面的合成品，也是数学实在的一部分，并且是一个不完全的复本(然而，在其范围内又是准确的复本)。但是现在对我们最重要的一点是：纯几何学无论如何也不能描写物理世界的时空实体，因为地震和日食不是数学概念。
这就像莎翁的剧作不会由于读者不小心将茶泼在某一页上而改变一样。剧本是独立于所印刷的纸张的，“纯几何”也是独立于教室或物理世界的其他部分的。
即使是纯数学家也会对这种几何学更加欣赏，因为还没有哪个数学家纯到对物理世界毫无兴趣的地步。但是，一旦他屈服于这种诱惑，他就放弃了他纯数学的立场。
一把椅子也许是一堆旋转电子的集合体，也许是上帝脑海中的一个想法，这两种描述都有可取之处，但没有一种是与通常意义下的实在完全相符。
我们并不能说我们知道物理的研究题材是什么，但这并不妨碍我们大致理解一个物理学家想干什么：他想用一些确定的、有序的抽象关系系统，来将他面临的原始的、无条理的事实现象重新联系起来，而这种系统他只能从数学家那里获得。
另一方面，数学家也在研究他自己的数学实在，对这种“实在”，正如我在§22 节中所说，我持“实在论”而非“唯心论”观点。在任何情况下(这是我主要的观点)这种数学的实在论观点比物理实在似乎更合理一些，因为数学的客体更接近他们所被看到的。一把椅子或一颗星星一点都不像它们看起来的那样，我们对之想得越多，感觉的迷雾就越会使它的轮廓模糊不清。但是“2”和“317”与感觉无关，我们观察得越仔细，它们的性质就越清晰。也许现代物理学最适合于唯心主义哲学框架——我不相信这一点，但有些著名的物理学家是这么说的。纯数学在我看来倒是唯心主义的绊脚石：317是个素数，并不因为我们是这样认为，或是我们的思想是以某种特定的方式形成，而是因为它原本如此（“原本如此”有着重号），因为数学实在就是这样建立的。
它们之所以永恒，是因为其中的精华就像文学中的精英部分，在几千年后还能引起千万人强烈的满足感。这些数学家基本上都是纯数学家(当然那时候两者的差异要比现在小得多)，但我考虑的不仅是纯数学方面。我把麦克斯韦、爱因斯坦, 《Eddington》和迪拉克都算在“真正的”数学家之列。现在应用数学最伟大的成就就是相对论和量子力学，而这些领域现在无论在哪方面都几乎像数论一样是“无用”的，在应用数学中像在纯数学中一样，或多或少地有用的恰恰是其中最令人乏味的和最基本的部分。时间会改变这一切。无人预见到矩阵、集合论和其他纯数学理论在现代物理学中的应用，也许一些“高雅”的应用数学会以“想不到”的方式变得“有用”，但是迄今为止，无论在哪一学科，实际生命是由平凡和枯燥组成的。
数学中的哪些部分是有用的？首先，中小学里大部分数学是有用的……。其次，大学数学中相当一部分是有用的。
于是我们得到一个很有趣的结论，就是纯数学整体上明显比应用数学有用。纯数学家似乎在实用方面和美学方面都占优势。最有用的是技术。而数学技术主要是通过纯数学来传播的。
但一个普通的应用数学家的处境不是有点可怜吗？如果他想“有用”些，他就不得不单调乏味地工作，也不能够给他的想象力以充裕的空间。“想象”的宇宙比这个构造拙劣的现实世界美丽得多，而且一个应用数学家的想象力创造出的最精美的产品往往一出来就被否定了，理由粗鲁而充分：它们不符合事实。
总结论已经明白无误了。如果我们暂时同意说，有用的知识就是现在或不远的将来对人类的物质享受有贡献的知识，而与纯粹的智力满足无关，那么高等数学的大部分就都是无用的了。现代几何、现代代数、数论、集合论、函数论、相对论、量子力学——没有一样能达到这个标准，也没有一个数学家的价值可以以此标准衡量。如果以此为标准，那么阿贝尔、黎曼、庞加莱都虚度此生，他们对人类享乐毫无建树，没有他们地球依然是个乐园。
由于霍格本被公认不是一名数学家，所以上述情况对他是很自然的。他指的“数学”，实质上是他所理解的数学，我们将这种数学称之为“中学”数学。这种数学有许多用处，我承认这些用处，而且，如果我们高兴的话，也可以称之为数学的“社会性”。霍格本将许多令人感兴趣的魅力用于数学发现的历史。正是这一点使这本书获得声望。因为正是这本书才使霍格本帮助了许多从来不是，而且将来也不会成为数学家的人。读者搞明白了数学中还有他们未曾料到的东西。但是，霍格本对于“真正”的数学几乎一窍不通(这一点凡是阅读过霍格本对毕达哥拉斯的定理，或欧几里德以及因斯坦的有关论述的任何人也能马上这么说)，更不用说什么心领神会了(这一点他不辞劳苦地要表现)。“真正的”数学对他来说仅仅是一个让人瞧不起的科目。
数学家怀特海的问题倒不是他不了解或不赞同这一有关数学的概念，但是在他对数学的狂热中却忽略了他所十分了解的那些特征。那种对“人们的日常爱好”和“社会体制”有巨大影响的不是怀特海的数学，而是霍格本的数学。而由一般人用于平常事物的数学是微不足道的，经济学家或社会学家们所利用的数学根本够不上“学术水准”。怀特海的数学也许深深影响了天文学和物理学，而且对哲学的影响也是相当可观的(一种有价值的思想总会影响另一种有价值的思想)。然而对于别的东西几乎没什么影响了。这种巨大影响一般并不是对普通人而言，而是对像怀特海本人那样的人而言的。
但是我们仍有另外一个问题要考虑。我们已得出结论，那就是，大体说来，不重要的数学是有用的，而真正的数学基本上不是有用的；从某种意义上来说，不重要的数学的确“有益”，而真正的数学却不然。
因此，一个真正的数学家是问心无愧的；他的工作的价值是无可非议的。正如我在牛津大学曾讲述的那样，数学研究是一个“无害而清白的”职业。
由于对现代化、科学化战争存在着两种截然相反的观点，数学的作用并不像人们想象的那么简单。首要的也是最明显的观点是，科学对战争的影响是：它加剧了战争的恐怖性。从前只有少数参战的人会领略到战争所带来的痛苦，而现在这种痛苦殃及其他的群体。而霍尔丹却在他的著作《化学战争的防御》⑴中阐述了另外一种截然相反而又无懈可击的观点。他认为现代战争不像科学发展以前时代的战争那样恐怖。他认为原子弹可能比刺刀更仁慈，催泪瓦斯和芥子气也许是军事科学所设计出的最人道的武器。他还认为：传统的看法只是缺乏深思熟虑的“感情用事”而已。
我并不清楚以上的观点中哪一个更接近于真理，这是一个急需解决而又令人兴奋的问题。但我没有必要在这里来阐明，这一问题只与“不重要的”数学有联系，捍卫它是霍格本的事，而不是我的事。这个问题对霍格本的数学也可能是点麻烦，而对我的情况却毫无影响。
实际上，不管怎么说，因为真正的数学在战争中总有用武之地，所以还有更多情况要阐述。当世界疯狂时，一个数学家可以在数学中发现一种无与伦比的镇定剂。在所有的艺术和科学之中，数学是最严肃而且也是最细微的。同时，数学家在所有的人里应该是最容易超脱于人世的。正如罗素曾说过的那样：“至少一种冲动与不安可以从沉闷而乏味的现实中得以解脱。”很遗憾，这里必须提出一个非常严格的限制条件——这样一位数学家一定不能太老了。因为数学是一种创造性学科而不是默想的学科。没有任何人在他失去能力或者不再有创造愿望时还可以从数学这一学科中获得慰藉。而这种失去能力与创造愿望的情况可能会很快地在一个数学家身上发生。这是很可悲的，但在这种情况下，他也就不是什么重要的角色了，也用不着为他操心了。
在这里我愿意用更具个性的方式来概括我的结论。开始我就说过，任何一个为自己的主张辩护的人都会发现他是在为自己辩护。因此作为一名职业数学家，我自然也是在为自己作某种辩护，而这一结论部分可称为我的自传的一部分。
我从不记得除了曾经想成为一名数学家以外，还想做什么。很显然，我的才能是在这一方面的。而且我的父母也从不怀疑我在这方面的天赋。我不记得在孩提时代对数学有过强烈的爱好，这种数学家的素质我也许具备，但我并不觉得十分惊人。我对数学的兴趣是基于应付考试和争取奖学金的需要，我必须战胜其他同学!这似乎成了我决策的动力。
然而，就连我这个思想单纯的人也不认为他是聪明人。如果他能作出这些成绩，我为什么不能？给我印象最深的是休息室的最后一幕，它使我着了迷，从那时起，直到我得到三一学院成员资格为止，对我来说，数学就等同于三一学院成员资格。
当我失望地却又不得不听那些浮夸而令人厌倦的谈话时，我就会对自己说：“我做了件你们从未曾做过的事．那就是与利特伍德和拉曼纽扬在某种平等条件下的合作。
一个数学家也许可以在60 岁时依然胜任上作，但不能指望他们产生创造性的思想。
我只有一种机会免被判断为完全微不足道，那就是人们可能判定我已做出了一些有创造价值的工作．我不否认，我已做了一些创造性的工作，问题是它们的价值怎样。
整评：专业的划分和分工，是社会发展和人类有限的理解能力造成的，不好讲谁优谁劣，谁美谁丑，谁重要谁次要，非要把胳膊和腿放一起比来比去，有意思吗？
哈代这个小册子，以圈内人士的身份，向圈外人讲述了数学和数学家的面貌。类似的工作极少，难道是因为数学界既不是娱乐界也不是政界，没什么好爆料的，爆了也极少有人感兴趣？一堆堆严谨的公式，躲都来不及呢！严肃、严谨、公正，但人们只在需要的时候才喜欢它们。这有情可原，因为人不是理性的机器，所以研究数学的动机，真的就像哈代所说，是自己最善于做、以及由此带来的荣誉？这不由地让人想起了爱因斯坦在普朗克生日宴会上讲的《探索的动机》，里面说“在科学的神殿里有许多楼阁，住在里面的人真是各式各样，而引导他们到那里去的动机也各不相同”，只有知识广阔、又极有深度和洞察力的人才能作出如此的概括。对号入座下，哈代只是其中一种“有许多人爱好科学是因为科学给他们以超乎常人的智力上的快感，科学是他们自己的特殊娱乐，他们在这种娱乐中寻求生动活泼的经验和对他们自己雄心壮志的满足”，注意哈代是十分强调雄心的，爱因斯坦说中了。
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