《洛书》的推广
我国的《洛书》将从1到9,这9个基本整数排列成3乘3的数阵,使得各
行、列、对角各数之和都相等,的这种排列,有着重要而神奇的作用。
《洛书》这种3行3列的数阵,是从1到3^2=9的共3^2=9个数排成的方
阵。共有从1到3^2=9的共3^2=9个数,它们的总和就是9乘(1+9)/2 =45。而且,共有3行(或列),各行(或列),的各数之和都相等。因而,各行(或列)
各数之和就应是45/3=15。
就应有各行、列、对角各数a、b、c,之和:a+b+c=15。
这a,b,c正中的那个数,b,就应是(1+3^2)/2=5。并有:a+c=15-5=10。
这样,就确定了:
a=1;c=9,a=2;c=8,a=3;c=7,a=4;c=6。
而且,包含正中的那个数,5,的行、列、对角各线就只有这4条。
只有a和c都是奇数的,分别处于非中间行列的中间位置,才可确定使得各
行、列、对角各数之和都相等,的如下数阵为:
4.9.2
3.5.7
8.1.6
这就是《洛书》的排列。
或其各90度转动,和各镜反射的各不同排列。
由这种数阵排列的类似规律可推广到从1到(2n+1)乘(2n+1)这(2n+1)乘
(2n+1)个连续整数排列成(2n+1)乘(2n+1)的数阵,使得各行、列、对角各数之和都相等。
按这种条件, 从1到(2n+1)^2的共(2n+1)^2个数排成的(2n+1)乘(2n+1)数
阵也可以设定各行、列、对角的这(2n+1)个数分别为:a1、a2、...、a(2n+1)。
这种(2n+1)乘(2n+1)数阵共有从1到(2n+1)^2的共(2n+1)^2个数的总和就是:
(2n+1)^2乘(1+(2n+1)^2)/2 。
而且,共有(2n+1)行(或列),各行(或列)各数之和相等。各行、列、对
角各数之和应是:(2n+1)乘(1+(2n+1)^2)/2。
各行、列、对角各数之和:
n=1,为15;n=2,为65;n=3,为175;n=4,为369;...
这(2n+1)^2个数正中的那个数就是(1+(2n+1)^2)/2。
正中的那个数:
n=1,为5; n=2,为13;n=3,为25;n=4,为41;...
包含有正中的那个数,(1+(2n+1)^2)/2,的行、列、对角各线就也都只有
4(n+1)条。而且,每条都有n层,相互对应的数,共n乘2(n+1)对。
n=1,为8条、1层、4对; n=2,为12条、2层、12对;
n=3,为16条、3层、24对;n=4,为20条、4层、40对;...
当使这些线上各层的行、列、对角各数的值与正中的那个数的差值都相同,就能造成满足各行、列、对角各数之和都相等的条件。
这样,我们就可以确定:
n=1,各线仅有a1、a2、a3,且 a2=5;
a1=1; a3=9, a1=2; a3=8, a1=3; a3=7, a1=4; a3=6,
n=2, 各线有a1、a2、a3、a4、a5,且a3=13;
a1+a5=a2+a4=(65-13)/2=26也=25+!,
a1=1; a5=25, a1=2; a5 =24, a1=3; a5=23, a1=4; a5=22,
a1=5; a5=21, a1=6; a5=20, a1=7; a5=19, a1=8; a5=18,
a1=9; a5=17, a1=10; a5=16, a1=11; a5=15, a1=12; a5=14,各数。
n=3, 各线有a1、a2、a3、a4、a5、a6、a7,且a4=25; a1+a7=a2+a6=a3+a5=(175-25)/3=50也=49+1,
a1=1; a7=49, a1=2; a7=48, a1=3; a7=47, a1=4; a7=46,
a1=5; a7=45, a1=6; a7=44, a1=7; a7=43, a1=8; a7=42,
a1=9; a7=41, a1=10; a7=40, a1=11; a7=39, a1=12; a7=38,
a1=13; a7=37, a1=14; a7=36, a1=15; a7=35, a1=16; a7=34,
a1=17; a7=33, a1=18; a7=32, a1=19; a7=31, a1=20; a7=30,
a1=21; a7=29, a1=22; a7=28, a1=23; a7=27, a1=24; a7=26,各数。
...
可以总结各数阵由外向中心各层n*的4对对应数的倍数为m,即:m=((2n*+1)^2-1)/8。
而有:
n*=1,2,3,4,...
m=1,3,6,10,...
并且,可由外向中心(以中心数,c,为中心)逐层将各8个相互对应的数,按:
a+3m.X0.a+m
a+2m.c..X2
.X1.a..X3
或其各90度转动,和各镜反射的各不同排列。
就可按如下方式确定相应的排列:
当n=1,a=1,m=1,
4..9..2
3..5..7
8..1..6
这就是《洛书》的排列。
或其各90度转动,和各镜反射的各不同排列。
当n=2,a=1,m=3,
10..XX..25..XX.. 04
XX..XX..XX..XX..XX
19..XX..13..XX..07
XX..XX..XX..XX..XX
22..XX..01..XX..16
并将中心部分排为:a=12,m=3,
a+3m.X0.a+m
.X2.c..a+2m
.X1.a..X3
其中:X0-c=c-a, a+m-c=c-X1, a+2m-c=c-X2, a+3m-c=c-X3,
即有:
21..14..15
08..13..18
11..12..05
则还剩:02,03,06, 09,
24,23,20, 17,且应有:
65-(10+25+04)=26(=02+24),
65-(21+14+15)=15(=9+6),
65-(08+13+18)=26(=7+19),
65-(11+12+05)=37(=17+20),
65-(22+01+16)=26(23+3),
填入各数,即:
10..02..25..24..04
09..21..14..15..06
07..08..13..18..19
17..11..12..05..20
22..23..01..03..16
这就是n=2时,各行、列、对角各数之和都相等的数阵。
或其各90度转动,和各镜反射的各不同排列。
这样,当n增大,就相应地增加围绕中心的层数,就得到了(2n+1)乘(2n+1)
排列成各行、列、对角各数之和都相等的数阵。
按此基本规律,就能够类似地,完全确定这种(2n+1)乘(2n+1)数阵的排列。
由此,也具体看到《洛书》排列规律对各层排列的重要作用。
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