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射影几何及齐次坐标在CV和CG中的应用
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1． 单应性homography,也叫射影变换projective transformation
Homography描述了两个平面间的变换关系（When the scene is a plane, a homography holds between the scene coordinate and the image coordinate AND between images acquired from different perspectives）,射影变换的代数表达的定义式为：
。注意了：x,y都是齐次坐标homogeneous coordinate，是射影几何projective geometry中坐标的书写形式。
。注意了：x,y都是齐次坐标homogeneous coordinate，是射影几何projective geometry中坐标的书写形式。Robust computation of homography有很多方法，常见的有经典最小二乘least-square estimation, SVD等等，具体的方法可以参考下面文献：Multiview Geometry for Camera Networks，Multiple View Geometry in Computer Vision。说到单应性矩阵元素的求解，同时让我想起基本矩阵fundamental matrix（essential matrix）的求解，方法和estimation of homography一样。其中 u也是homogeneous coordinate。
One application of the homography:我刚看到的，就是能detect non-planar object on a planar surface,呵呵，原理简言之就是mapping one image onto the other via the homography, and then searching for non-overlapping areas.
2． 齐次坐标
齐次坐标的两个明显的优点是：1）提供了坐标系间转换的简便方法2）可以方便表示无穷远点，齐次坐标在射影几何中常用到，在欧氏几何、仿射几何、射影几何中所有的欧氏变换、仿射变换、射影变换分别构成变换群，则射影变化群包含欧氏变换群。欧氏坐标系可以看作特殊的射影坐标系，因此欧氏坐标系和射影坐标系间的变换也是射影变换，符合。在不同的空间中的3D reconstruction，我们只是在重建不同几何意义下的不变量，欧氏几何中，形状是不变量；射影几何中，交比是不变量，对形状和交比重建，都可以做object recognition。不过射影几何意义下的3D reconstruction貌似在CV中用的不多。
。在不同的空间中的3D reconstruction，我们只是在重建不同几何意义下的不变量，欧氏几何中，形状是不变量；射影几何中，交比是不变量，对形状和交比重建，都可以做object recognition。不过射影几何意义下的3D reconstruction貌似在CV中用的不多。在industrial photogrammetry中, 会有很多规则的直线、圆锥曲线等等二次曲线quadratic curve，二次曲线具有射影变换不变性，being invariant to projective transformation, 这样，二次曲线在欧氏变换下当然还是二次曲线。这样为工业摄影测量中二次曲线的几何重建提供了更简洁的方法：并不需要逐点重建，只需要通过image plane上的曲线方程一次性重建。
说到其次坐标，让我们想起homogeneous polynomial, 我们常用到的齐次多项式是quadratic form。 对于non-homogeneous polynomial，可以对其齐次化homogenization，公式如下...。齐次化后，很多公式或描述变得简洁，比如解求非齐次线性方程组，如果对常数项引入常变量
，则n元非齐次求解问题变成n+1元齐次方程组求解，可以与齐次方程组的求解模型合二为一。This is the amazing effects homogeneous coordinate brings along. 呵呵。
，则n元非齐次求解问题变成n+1元齐次方程组求解，可以与齐次方程组的求解模型合二为一。This is the amazing effects homogeneous coordinate brings along. 呵呵。再说齐次坐标，在projective space中，如果用homogeneous coordinate描述点、线、面，一个最大的方便是：点线面的齐次坐标possess identical form，也就是他们间有对偶关系，用齐次坐标大大简化了共面、相交、共线的矩阵表示。
3． 有理多项式
有理多项式是一种非线性参数曲线，不过如果用齐次坐标表示，其代数表示形式和多项式曲线一致。有理参数多项式具有几何和透视变换perspective transformation不变性，这条性质简化了变换后曲线的再构造。可是这条性质为什么对无理多项式不符合呢？我至今不懂，望高手指点。
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