在经典引力理论中，光在引力场中是没有色散的，不同颜色的光受到的引力偏折相同。因而点源在不同波段的引力透镜的像是重合的。但是如果考虑到量子效应，光子的质量不为零，那么光在引力场中也会有色散，引力透镜的像也会有色散。

假设光子有静质量$m$，能量为$E$的光子在质量为$M$的点质量引力场中的偏转角$\theta$满足（Accioly \& Paszko 2004）
\begin{equation}
2\left(\frac{GM}{b}\right)^2=\frac{1-\cos\theta}{\left(2+\frac{m^2}{E^2-m^2}\right)
+\frac{8}{3}\left(1+\frac{m^2}{E^2-m^2}\right)(1-\cos\theta)\ln(1-\cos\theta)-\frac{2}{3}(1-\cos\theta)^2}
\end{equation}
那么在小偏转角近似下，
\begin{equation}
\theta_{\rm E}=\frac{\theta^2}{\left(1+\frac{m^2}{2(E^2-m^2)}\right)^2+\left(1+\frac{m^2}{E^2-m^2}\right)
\frac{\theta^2}{3}\ln\frac{\theta^2}{2}},
\end{equation}
其中$\theta_{\rm E}=4GM/b$，$b$是瞄准距。如果$E\gg m$，偏转角可以近似为
\begin{equation}
\theta=\theta_{\rm E}\left(1+\frac{m^2}{2E^2}\right)
\end{equation}

假设$\Delta$是质量$m$的光子的偏转角对质量为零的光子的偏转角的偏离的上限。那么可以得到
\begin{equation}
m\le 2\pi \nu\sqrt{\frac{2\Delta}{\theta_{\rm E}}}.
\end{equation}
注意到上面的处理假设了$E\gg m$，为满足这个条件，可以得到关于$\Delta$的以下判据
\begin{equation}
\frac{m}{\nu}\le 2\pi\sqrt{\frac{2\Delta}{\theta_{\rm E}}}\ll 1
\end{equation}

为了能用引力透镜的观测对光子质量给出限制，仪器的角分辨率应该远远小于引力透镜像与源之间的角距离。例如，如果在1GHz对引力透镜进行角分辨率1mas的观测，假设引力透镜像与源之间的角距离是$1^\circ$，那么光子质量的上限为
begin{equation}
mle 4.6times 10^{-42}rm g.
end{equation}


begin{thebibliography}{}

  bibitem{accioly2004} Accioly, A. & Paszko, R.
     2004 Phys. Rev. D, 69, 107501

end{thebibliography}

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2012年4月30日注：本想法已整理成文发表（QIAN Lei. Constraining photon mass by energy-dependent gravitational light bending[J]. SCIENCE CHINA Physics,Mechanics & Astronomy, 2012, 55(3): 523-526.http://phys.scichina.com:8084/Jwk_sciG_en/EN/abstract/abstract506604.shtml#）。

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2016年5月26日注：本文终于有人引用了，《中国科学G》就别来烦我了。

http://inspirehep.net/record/1221018/references