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爱因斯坦引力场方程耦合常数-8ΠG推导过程中的漏洞

已有 230 次阅读 2026-4-29 20:11 |系统分类:科研笔记

$爱因斯坦引力场方程是$

${R}_{.mu .nu }-.frac {1} {2}R{g}_{.mu .nu }=k{T}_{.mu .nu }$ $其中., ., {T}_{.mu .nu }=(.rho +p){U}_{.mu }{U}_{.nu }+p{g}_{.mu .nu }., ., 是引力源$

耦合常数K是借助静态的情况与牛顿理论比较得出的，推导过程如下

由于度规满足毕安基恒等式，这要求引力源的协变散度为零，即任何情况下必须有

${{T}^{.mu }_{.nu }}_{;., .mu }=0., ., ., ., ., ., ., ., ., ., ., ., ., ., ., ., ., ., ., ., ., ., ., ., （1）$

$希腊指标.mu ，.nu =0,., 1,., 2.., 3.., 在直角坐标系，弱场近似下., {g}_{.mu .nu }={.eta }_{.mu .nu }+{h}_{.mu .nu },., ., ., ., .left | {{h}_{.mu .nu }} .right |<<1$

${.eta }_{.mu .nu }., 是闵氏度规，{.eta }_{00}=-1，{.eta }_{11}={.eta }_{33}={.eta }_{22}=1，重复指标代表求和$

$容易证明弱场近似下引力源的普通散度为零，即$

${{T}^{.mu }_{.nu }}_{,., ., .mu }=0$ $(2)$

$求解耦合常数利用的是静态引力源，这时引力场方程的00分量线性化为$

$(.frac {{.partial }^{2}} {{.partial x}^{2}}+.frac {{.partial }^{2}} {{.partial y}^{2}}+.frac {{.partial }^{2}} {{.partial z}^{2}}){h}_{00}=k(.rho +3p)$ $（3）$

$由于弱场近似下的测地方程需回到牛顿引力，这要求{h}_{00}=-2.phi ,., .phi ., 是牛顿引力势$

$，满足泊松方程., ., (.frac {{.partial }^{2}} {{.partial x}^{2}}+.frac {{.partial }^{2}} {{.partial y}^{2}}+.frac {{.partial }^{2}} {{.partial z}^{2}}).phi =4.pi G.rho$ $与（3）比较，因此必需有$

$-.frac {k} {2}(.rho +3p)=4.pi G.rho$ $(4)$

$当p=0时，k=-8.pi G,., 这就是以往确定的耦合常数$

$但这个常数存在错误，因为p不得为0,., 这容易看出，对于静态（1）给出$

$.frac {.partial p} {{.partial x}^{.mu }}+.frac {.rho +p} {2{g}_{00}}.frac {.partial {g}_{00}} {{.partial x}^{.mu }}=0$ $(5)$

$而静态的弱场近似下，（2）要求., ., ., .frac {.partial } {{.partial x}^{.mu }}[(.rho +p){U}^{.mu }{U}_{.nu }+p{.delta }^{.mu }_{.nu }]=0,., 即., .frac {.partial p} {{.partial x}^{.mu }}=0$

$而.frac {{.partial g}_{00}} {{.partial x}^{.mu }}., 代表天体内的引力不得为0.., ., ., 所以必有., p=-.rho =const$

$顺便得到弱场近似下天体内密度为常数的结论，把., p=-.rho ., 代入（4）得$

$k=4.pi G$ $（6）$

$这个常数才是合理的，耦合常数-8.pi G., 不能满足场方程本身的需要$

$因此作为引力源的压强应取负值，不应解释作通常的流体动力学压强，正如$

$爱因斯坦所说，$

$它表示的是物质内部的能量依赖关系，见《相对论的意义》，严格求解需用（5）$

$在国际单位耦合常数还应除光速4次方., {c}^{4}$

参考文献：温柏格，《引力论宇宙论》

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