[笔记，科普，数学] 素数（23）：一些尚未解决的问题

素数： prime number

算术基本定理： fundamental theorem of arithmetic

素数计数函数： prime counting function

素数定理： prime number theorem

对数积分： logarithmic integral

唯一分解定理： unique factorization theorem

黎曼猜想： Riemann Hypothesis

希尔伯特的第 8问题： Hilbert's 8th Problem

一、Some unsolved problems

   1. The Twin Primes Conjecture that there are infinitely many pairs of primes only 2 apart.

   2. Goldbach's Conjecture (made in a letter by C Goldbach to Euler in 1742) that every even integer greater than 2 can be written as the sum of two primes.

   3. Are there infinitely many primes of the form n²+1 ?

   (Dirichlet proved that every arithmetic progression : { a + bn | n ∈ N } with a,b coprime contains infinitely many primes.)

   4. Is there always a prime between n² and （n+1）² ?

   (The fact that there is always a prime between n and 2n was called Bertrand's conjecture and was proved by Chebyshev.)

   5. Are there infinitely many prime Fermat numbers? Indeed, are there any prime Fermat numbers after the fourth one?

   6. Is there an arithmetic progression of consecutive primes for any given (finite) length? e.g. 251, 257, 263, 269 has length 4. The largest example known has length 10.

   7. Are there infinitely many sets of 3 consecutive primes in arithmetic progression. (True if we omit the word consecutive.)

   8. n² - n + 41 is prime for 0 ≤ n ≤ 40 . Are there infinitely many primes of this form? The same question applies to n² - 79n + 1601 which is prime for 0 ≤ n ≤79.

   9. Are there infinitely many primes of the form n# + 1 ? (where n# is the product of all primes ≤ n.)

   10. Are there infinitely many primes of the form n# - 1 ?

   11. Are there infinitely many primes of the form n! + 1 ?

   12. Are there infinitely many primes of the form n! - 1 ?

   13. If p is a prime, is 2^p -1 always square free? i.e. not divisible by the square of a prime.

   14. Does the Fibonacci sequence contain an infinite number of primes? 

二、一些尚未解决的问题（感谢您改进下面的汉译）

   1. 孪生素数猜想：存在无穷多对相差 2 的素数。

   2. 哥德巴赫猜想（C Goldbach在1742年给欧拉的一封信中提出），即每个大于2的偶数都可以写成两个素数之和。

   3. 形如 n²+1 的素数，有无穷多个吗？

   狄利克雷证明，所有等差数列{ a + bn | n ∈ N }包含无限多个素数，如果 a, b 互质。

   4. 在 n² 和（n+1）² 之间，总有一个素数吗？

   （事实上，在 n 和 2n 之间总是有一个素数的被称为 Bertrand 猜想，并被切比雪夫证明。）

   5. 有无穷多个费马素数吗？事实上，在第四个费马数之后还有素数吗？

   6. 对于任何给定的（有限）长度，是否存在连续素数等差数列？例如 251、257、263、269 的长度为 4。已知最大的例子长度为 10。

   7. 算术级数中是否有无穷多组 3个连续素数？（如果我们省略单词连续，则为真。）

   8. 当 0 ≤ n ≤ 40 时，n² - n + 41 是素数。这种形式的素数有无穷多个吗？同样的问题也适用于 n² - 79n + 1601，当 0 ≤ n ≤79 。

   9. 有无穷多个形如 n# + 1 的素数吗？（其中 n# 是所有 ≤n 的素数的乘积。）

   10. 有无穷多个形如 n# - 1 的素数吗？

   11. 有无穷多个形如 n! + 1 的素数吗？

   12. 有无穷多个形如 n! - 1 的素数吗？

   13. 如果 p 是一个素数，2^p -1 总是无平方吗？即，不能被素数的平方整除。

   14. 斐波那契数列包含无限个素数吗？ 

参考资料：

[1] 科普中国，2021-12-31，素数分布

https://www.kepuchina.cn/article/articleinfo?business_type=100&classify=0&ar_id=315801

以前的《科学网》相关博文链接：

[1] 2026-04-02 21:50，[笔记，科普，数学] 素数（22）：布尔巴基 Bourbaki 几乎不研究素数？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1528617.html

[2] 2026-03-28 20:36，[笔记，科普，数学] 素数（20）：希尔伯特－波利亚猜想 Hilbert–Pólya conjecture

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1527807.html

[3] 2026-3-27 21:04，[笔记，科普，数学] 素数（19）：俄语资料的阅读摘录

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1527694.html

[4] 2026-03-26 22:15，[笔记，科普，数学] 素数（18）：希尔伯特 Hilbert 几乎不研究素数？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1527522.html

[5] 2026-03-25 14:50，[笔记，科普，数学] 素数（17）：庞加莱 Poincaré 几乎不研究素数？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1527296.html

[6] 2026-03-24 19:25，[笔记，科普，数学] 素数（16）：高斯，除了算术基本定理、素数定理之外，对素数还有哪些看法？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1527201.html

[7] 2026-03-23 21:46，[笔记，科普，数学] 素数（15）：柯西几乎不研究素数？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1527060.html  

[8] 2026-03-20 14:20，[资料，科普，数学] 希尔伯特的第 8问题 prime number 英文版（1902年，美国数学会）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1526604.html

[9] 2026-03-19 14:45，[汇集，科普，数学] 1900年希尔伯特的 23个问题（英文版，简版）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1526445.html

[10] 2026-03-18 17:13，[笔记，科普，数学] 希尔伯特的第24问题，时代限制的遗憾

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1526321.html

[11] 2026-03-17 22:43，[笔记，科普，数学] 素数（13）：希尔伯特问题里的“哥德巴赫猜想 Goldbach conjecture”

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1526196.html  

[12] 2026-03-16 23:18，[笔记，科普，数学] 素数（12）：孪生素数，孪生素数猜想，twin primes, twin prime conjecture

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1526050.html

[13] 2026-03-09 22:12，[笔记，科普，数学]素数（5）：黎曼猜想 Riemann Hypothesis

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1525092.html

[14] 2026-03-05 21:30，[笔记，科普，数学] 素数（2）：素数定理 prime number theorem 之一

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1524561.html  

[15] 2026-03-04 15:36，[笔记，科普，数学] 素数（1）：算术基本定理 fundamental theorem of arithmetic

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1524368.html  

[16] 2024-11-17 22:51，[数学文化，客观派，讨论] 欧几里得对“素数有无穷多个”研究的有效性

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1460458.html  

[17] 2024-11-10 22:51，[数学文化，笔记] 素数有无穷多个之九类证明

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1459433.html  

[18] 2026-03-06 01:24，[资源，科普，数学] 素数表（质数表，小于 200000） list of primes, prime numbers

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1524570.html  

感谢您的指教！

感谢您指正以上任何错误！

感谢您提供更多的相关资料！