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[笔记，科普，数学] 波利亚 George Pólya, György Pólya 名言之二（2nd）

已有 122 次阅读 2026-3-30 21:14 |个人分类:资料与科普|系统分类:科普集锦

[笔记，科普，数学] 波利亚 George Pólya, György Pólya 名言之二（2nd）

希尔伯特－波利亚猜想： Hilbert–Pólya conjecture

素数： prime number

算术基本定理： fundamental theorem of arithmetic

素数计数函数： prime counting function

素数定理： prime number theorem

对数积分： logarithmic integral

唯一分解定理： unique factorization theorem

希尔伯特： David Hilbert, 1862-01-23 ~ 1943-02-14, 81

波利亚： George Pólya, György Pólya, 1887-12-13 ~ 1985-09-07, 98

图1 波利亚 George Pólya, György Pólya, 1887-12-13 ~ 1985-09-07, 98

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约 1935年

一、波利亚的著作，数学方法方面

（1）《怎样解题》（How to Solve It: A New Aspect of Mathematical Method，1945年）阐述了理解题目、拟定计划、执行计划、回顾的解题四步法。

（2）《数学与猜想》（Mathematics and Plausible Reasoning, Volume 1: Induction and Analogy in Mathematics, Mathematics and Plausible Reasoning: Vol. II: Patterns of Plausible Inference, 1954年）。

二、波利亚的著作清单（部分）

1925: Problems and Theorems in Analysis I (with Gábor Szegő)

1972: Problems and Theorems in Analysis I, Eng. ed. (with Gábor Szegő, translated by Dorothée Aeppli)

1925: Problems and Theorems in Analysis II (with Gábor Szegő)

1976: Problems and Theorems in Analysis II, Eng. ed. (with Gábor Szegő, translated by C.E. Billigheimer)

《数学分析中的问题和定理》

1931: On the roots of certain algebraic equations (Proc. London Math. Soc. Ser. 2 Vol. 33: pp. 102 – 114) (with André Bloch) 基于某些代数方程的根

1933: Abschätzung des Betrages einer Determinante (with André Bloch)

1934: Inequalities (with G.H. Hardy and J.E. Littlewood) 《不等式》

1945: How To Solve It 《怎样解题》

1951: Isoperimetric inequalities in mathematical physics, Princeton (with Gábor Szegő)

1954: Induction and Analogy in Mathematics

1954: Mathematics and Plausible Reasoning 《数学与猜想：数学中的归纳和类比，合情推理模式》

1956: On Picture-Writing (Amer. Math. Monthly Vol. 63: pp. 689 – 697) www.jstor.org/stable/2309555

1974: The Stanford Mathematics Problem Book (with Jeremy Kilpatrick)

1962: Mathematical Discovery on Understanding, Learning and Teaching Problem Solving, New York, Wiley 《数学的发现 : 对解题的理解、研究和讲授》

三、波利亚的“解题四步骤”

‌（1）弄清问题‌（理解问题）：明确未知量、已知条件和题目要求。画图、引入符号，分解条件。

‌（2）拟定计划‌（制定策略）：回忆相关知识或类似问题。尝试构造辅助元素、简化问题或逆向推理。

‌（3）实现计划‌（执行求解）：按计划逐步推导，检验每一步的正确性。

‌（4）‌回顾与检验‌（反思总结）：验证结果是否合理。探索更优解法，思考是否可迁移至其他问题‌。

求：更好的介绍。感谢！

四、波利亚名言

3.1 波利亚自己的名言

数学有两个侧面，它是欧几里得式的严谨科学，但它也是别的什么东西。用欧几里得方法提出来的数学看来像是一门系统的演绎科学，但在创造过程中的数学看来却像是一门实验性的归纳科学。这两个侧面都像数学本身一样古老。但从某一点说来，第二个侧面则是新的，因为以前从来就没有“照本宣科”地把处于发现过程中的数学照原样提供给学生、或教师自己、或公众。

以最后确定的形式出现的定型的数学，好像是仅含证明的纯论证性的材料，然而，数学的创造过程是与任何其他知识的创造过程一样的，在证明一个数学定理之前，你先得猜测这个定理的内容，在你完全作出详细证明之前，你先得推测证明的思路。你先得把观察到的结果加以综合然后加以类比。你得一次又一次地进行尝试，数学家的创造性工作成果是论证推理，即证明；但是这个证明是通过合情推理，通过猜想而发现的。

欧拉成功的决定性因素是大胆。从严格逻辑角度来回顾，他的做法是荒谬的。他把对某种情况来说尚未发明的法则应用到这种情况上了，即把关于一个代数方程的法则应用到一个非代数方程的情况中去。在严格的逻辑意义下欧拉的步骤是不允许采取的，但是他用了一门新兴科学中最好的成就来做类比，而类比告诉他可以这样做。

数学问题经常受到自然界的启发，更确切地说，是受到我们对自然界的解释的启发。也可以说，数学问题的解可以受到自然界的启发，不过，物理学给我们提供的线索，往往不被我们自己所理会，如不讨论物理研究的启发和借助物理解释，那我们对数学问题的观点就太狭隘了。

解题意味着发现一条摆脱疑难、绕过障碍的途径，以达到一个不能一蹴而就的目的。解题是智力的特殊成就，而智力又是人类的天赋。因此可以把解题看作是人类的最富有特征的一种活动。

一个有意义的问题的解决，为解决这个问题所花的努力和由此而得到的见解，可以打开通向一门新科学，甚至一个科学新纪元的门户。

3.2 波利亚引用的名言

因为流行的观点认为，观察只局限于能产生感性印象的具体对象，所以如果在通常称为纯粹数学的这门数学科学中，也认为观察是一件极为重要的事的话，这看起来似乎颇为荒谬，如果必须把数仅仅看作是纯理性的概念，我们就很难理解观察和假想实验怎么能用于研究数的本质。事实上，正如我以非常充分的理由在此将要指出的那样，今天人们所知道的数的性质，几乎都是由观察所发现的，并且早在用严格论证确认其真实性之前就被发现了。

——欧拉

我珍视类比胜于任何别的东西，它是我最可信赖的老师，它能揭示自然界的秘密，在几何学中它应该是最不容忽视的。

——开普勒

甚至在数学里，发现真理的主要工具也是归纳和类比。

——拉普拉斯

在数论中由于意外的幸运颇为经常，所以用归纳法可萌发出极漂亮的新的真理。

——高斯

求它们的原文。感谢！

五、波利亚著作 How to Solve It、Mathematics and Plausible Reasoning 的封面

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